Выход в пространство⁠

Живя на поверх­но­сти Земли, люди долгое время счи­тали, что она плос­кая. Пона­до­би­лось постро­е­ние науч­ных тео­рий, чтобы дога­даться, что Земля похожа на шар. И лишь во вто­рой поло­вине XX века люди смогли посмот­реть на Землю из объем­лющего про­стран­ства и убе­диться воочию.

Так же и в матема­тике: выйдя в объем­лющее про­стран­ство, зача­стую можно узнать много инте­рес­ного об объекте.

Рас­смот­рим три про­из­воль­ные окруж­но­сти и про­ве­дём попар­ные каса­тель­ные к каж­дой паре окруж­но­стей. Что можно ска­зать о полу­чен­ных трёх точ­ках, являющихся пере­се­че­нием каса­тель­ных, про­ве­дён­ных к двум окруж­но­стям? Судя по рисунку, они лежат на одной прямой. Однако рису­нок — это не дока­за­тельство, а лишь информация для выра­ботки гипо­тезы. Попро­буем её дока­зать.

Рас­смат­ри­ва­емая задача и рису­нок к ней рас­по­ложены на плос­ко­сти. Давайте посмот­рим на эту плос­кость извне — из объем­лющего трёхмер­ного про­стран­ства.

Построим три сферы, чьими эква­то­рами являются изна­чаль­ные окруж­но­сти. Конусы, попарно охва­ты­вающие сферы, в каче­стве обра­зующих будут иметь каса­тель­ные, рас­смат­ри­ва­емые в задаче. Точки, кото­рые по нашей гипо­тезе лежат на одной прямой, будут верши­нами кону­сов.

Положим на конусы плос­кость. Инте­ре­сующие нас точки — вершины кону­сов — при­над­лежат этой плос­ко­сти, так же, как и изна­чаль­ной — «эква­то­ри­аль­ной» плос­ко­сти. А две (непа­рал­лель­ные) плос­ко­сти пере­се­каются по прямой! Зна­чит, действи­тельно, как и было предпо­ложено, эти три точки — точки пере­се­че­ния попар­ных каса­тель­ных к трём про­из­воль­ным окруж­но­стям — лежат на одной прямой.

Эта тео­рема носит имя фран­цуз­ского матема­тика и госу­дар­ствен­ного дея­теля Гаспара Монжа. Пред­ложен­ное рас­суж­де­ние дока­зы­вает её в слу­чае, когда на три шара, постро­ен­ных на окруж­но­стях, можно положить плос­кость. При­думайте при­мер трёх окруж­но­стей, для кото­рых это сде­лать нельзя, а уточ­не­ние дока­за­тельства в этом слу­чае посмот­рите в ста­тье Вла­ди­мира Юрье­вича Про­та­сова.