Глубина заложения

Как оце­нить глу­бину заложе­ния станции метро, на кото­рую вы спус­ка­е­тесь по эска­ла­тору? Ока­зы­ва­ется и в этом житейском вопросе может помочь зна­ние матема­тики! А именно —  триго­номет­рии.

Эска­ла­тор метро… Как много в этих сло­вах скрыто для любого инте­ре­сующегося чело­века! Огром­ная, посто­янно движуща­яся махина, «живая лест­ница»…

А начи­на­лось всё ещё в конце XIX века, когда аме­ри­кан­ский изоб­ре­та­тель Дж. Рено (Jesse W. Reno, 1861—1947) запа­тен­то­вал первую «живую лест­ницу». В его кон­струкции вме­сто ступе­нек на «бес­ко­неч­ной» ленте её лест­нич­ного полотна были про­доль­ные рифли. Пер­вый же пуб­лич­ный действующий эска­ла­тор по соглаше­нию с его изоб­ре­та­те­лем Ч. Зее­берге­ром (Charles D. Seeberger, 1857—1931) был изго­тов­лен компа­нией «Отис» и экс­по­ни­ро­ван на Париж­ской выставке 1900 года. У него были гори­зон­таль­ные ступени, кото­рые выхо­дили из-под ограж­де­ния на одной вход­ной площадке и ухо­дили под такое же ограж­де­ние на дру­гой вход­ной площадке, что достав­ляло массу про­блем. В 1921 году обе идеи — гори­зон­таль­ные ступеньки и риф­ле­ние — были объеди­нены в новой кон­струкции, и с этого момента все­гда стала исполь­зо­ваться подоб­ная схема.

Когда в 1930-х годах начали про­ек­ти­ро­вать пер­вый в нашей стране мос­ков­ский мет­ропо­ли­тен, была предпри­нята попытка озна­комиться с загра­нич­ным опытом. Однако запраши­ва­емые суммы и время на испол­не­ние со сто­роны зару­беж­ных компа­ний были настолько велики, что от этой идеи при­ш­лось отка­заться. В конце 1933 года дирек­тор лон­дон­ского отде­ле­ния фирмы «Отис» писал пред­се­да­телю Мос­со­вета: «Ваши спе­ци­а­ли­сты — спо­соб­ный народ. Но эска­ла­торы — чрез­вы­чайно слож­ное дело, им с этим делом не спра­виться. Даже мы, с нашим тридца­ти­лет­ним опытом, не возьмёмся выпол­нить заказ в такие сроки. Я, как друг Совет­ского Союза, обя­зан вас пре­дупре­дить, что сроки пуска метро могут быть сорваны». Но совет­ские инже­неры и учё­ные сумели решить эту уни­каль­ную задачу, и в фев­рале 1935 года эска­ла­торы стали достав­лять пас­сажи­ров на станции мос­ков­ского мет­ропо­ли­тена.

Одним из важ­ных элемен­тов эска­ла­тора явля­ется  ступенька. У неё четыре ролика: два больших и два маленьких. Большие ролики едут по своим направ­ляющим рель­сам, а маленькие — по своим.

Когда про­ек­ти­ро­вали эска­ла­тор, даже под­бор мате­ри­а­лов для роли­ков был очень важ­ной и труд­ной зада­чей. Мос­ков­ский мет­ропо­ли­тен открыт при­мерно с шести утра до часу ночи. Т. е. больше 19 часов — больше 68 тысяч секунд в день. Самая мед­лен­ная ско­рость экс­плу­а­тации эска­ла­тора сей­час 0,75 м/c, и, зна­чит, ступенька про­бегает каж­дый день больше 50 километ­ров. И так, без устали, день за днём, в год более 18 тысяч километ­ров! Пред­став­ля­ете, каков должен быть мате­риал, чтобы ролики без регу­ляр­ных ремон­тов и замен могли выдержи­вать посто­янно едущих на ступень­ках пас­сажи­ров. И это только одна деталь и один вопрос, кото­рый при­ш­лось решать совет­ским инже­не­рам, а таких вопро­сов были тысячи.

Вот так при­мерно выгля­дит  схема эска­ла­тора. Если посмот­реть  сбоку, то видно, что именно вза­им­ное рас­по­ложе­ние направ­ляющих рельс больших и маленьких роли­ков обес­пе­чи­вает основ­ное свойство эска­ла­тора: в верх­ней части «живой лест­ницы», по кото­рой едут пас­сажиры, ступени все­гда гори­зон­тальны. В ниж­ней же части ступени воз­вращаются вверх парал­лельно направ­ляющим, не занимая место в тун­неле.

Но вер­нёмся к нашему вопросу о глу­бине, на кото­рую спус­ка­ется эска­ла­тор. Уди­ви­тель­ный факт состоит в том, что все рос­сийские эска­ла­торы, с самых пер­вых и до про­из­во­димых в наше время, накло­нены к гори­зонту под углом в  30 гра­ду­сов!

Достроим мыс­ленно эска­ла­тор до есте­ствен­ного прямо­уголь­ного тре­уголь­ника. Длина его гипо­те­нузы — это длина эска­ла­тора, а длина одного из кате­тов и будет при­мерно равна глу­бине заложе­ния той станции метро, на кото­рую ведёт этот эска­ла­тор.

Как же посчи­тать длину эска­ла­тора, спус­ка­ясь по нему? Можно было бы засечь время, но тогда для вычис­ле­ния пути нужно точно знать ско­рость движе­ния, а она может меняться от 0,75 м/c до 1 м/c, и погреш­ность — в чет­верть — довольно большая.

Можно было бы посчи­тать размеры одной ступеньки, но затем понять на движущемся эска­ла­торе, сколько на гипо­те­нузе умеща­ется ступе­нек, слож­но­вато…

Что же мы можем исполь­зо­вать ещё? Спус­ка­ясь или под­нима­ясь по эска­ла­тору, мы посто­янно про­езжаем фонари! Рас­сто­я­ние между ними не фик­си­ру­ется, ГОСТами ого­ва­ри­ва­ется необ­хо­димая освещён­ность тун­неля. И в итоге полу­ча­ется, что фонари отстоят друг от друга при­мерно на  5 мет­ров.

Спус­ка­ясь по эска­ла­тору, можно посчи­тать  коли­че­ство фона­рей. Что нужно сде­лать дальше, чтобы посчи­тать длину гипо­те­нузы?

Не торопи­тесь умножать на 5. Для под­счёта длины нам же нужно не коли­че­ство фона­рей, а коли­че­ство рас­сто­я­ний между ними! От под­счи­тан­ного коли­че­ства фона­рей сле­дует  отнять 1, а теперь уже можно  умножить на 5 и на синус 30°.

Кра­сота момента состоит в том, что синус 30° равен 1/2, и с этим чис­лом легко про­из­во­дить счёт в уме! И  полу­чивша­яся формула под­счёта глу­бины заложе­ния станции про­ста для счёта и легка для запоми­на­ния.

Лите­ра­тура

Ост­ров­ский Л. А. Живая лест­ница // Как мы стро­или метро. — М., 1935.

Лест­ница-чудес­ница // Мос­ков­скому мет­ропо­ли­тену — 50. — М., 1985.

Смотри также

Глу­бина заложе­ния станций мет­ропо­ли­тена // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 67.

Другие этюды раздела «Математика и техника»