Изучая закон свободного падения тел, Галилео Галилей проводит серию экспериментов, в которых скатывает шар по наклонной плоскости. Эта идея позволила ему «замедлить» движение тела и сделать опыты реализуемыми в конце XVI века. Одним из результатов стал вывод, что при падении тела длина пути растёт пропорционально квадрату времени.
Катание шара по наклонной плоскости в XXI веке — эксперимент несложный, но полезный. Фильм «Хорды Галилея» показывает связь между механикой и вписанными в окружность углами, опирающимися на вертикальный диаметр.
Можно наблюдать, что падение вдоль вертикальной гипотенузы занимает то же время, что и скатывание по любому из катетов прямоугольного треугольника. Математическое обоснование эксперимента — определение косинуса и синуса в прямоугольном треугольнике.
Закон падения тела по вертикальной гипотенузе имеет вид $\frac{a}{2}t^2$, где $a=g$ — ускорение свободного падения. Наклонный верхний катет «поддерживает» тело и на нём ускорение уже не $g$, а $a=g\cos\alpha$, где $\alpha$ — верхний угол треугольника. Соответственно по верхнему катету тело движется по закону $\frac{g\cos\alpha}{2}t^2$. Аналогично по нижнему катету тело движется по закону $\frac{g\cos\beta}{2}t^2= \frac{g\sin\alpha}{2}t^2$, где $\beta$ — нижний угол треугольника. (Оговоримся, что вращение шарика не учитывается.)
Время, за которое шарик будет падать вдоль гипотенузы, равно $\sqrt{\frac{2}{g}\cdot d}$. Время движения тела по катетам $a$ и $b$ равно $\sqrt{\frac{2}{g}\cdot \frac{a}{\cos\alpha}}$ и $\sqrt{\frac{2}{g}\cdot \frac{b}{\sin\alpha}}$. Время движения по всем трём сторонам так расположенного прямоугольного треугольника — одинаково.
