Площадь круга: сведение к площади прямоугольника

Площадь круга ради­уса $R$ равна $S = \pi \cdot R^2$. Убе­димся в этом, восполь­зо­вавшись уме­нием вычис­лять площадь прямо­уголь­ника.

Раз­де­лим круг диамет­ром на две поло­вины. Каж­дую из них разо­бьём на оди­на­ко­вые сек­тора. «Рас­крыв» поло­вины и вста­вив их одна в  другую, полу­чим фигуру, по площади рав­ную площади изна­чаль­ного круга. Эта фигура — почти прямо­уголь­ник. Почти — потому что длин­ные сто­роны не совсем прямые. Длина этих сто­рон равна поло­вине длины окруж­но­сти, т.е. $\pi \cdot R$. А длина корот­кой сто­роны полу­чившейся фигуры — в точ­но­сти радиус изна­чаль­ной окруж­но­сти. Площадь прямо­уголь­ника вычис­ля­ется пере­множе­нием длин его сто­рон: $S≈(\pi \cdot R)\cdot R = \pi \cdot R^2$.

Исполь­зо­вана формула для площади прямо­уголь­ника, однако полу­чивша­яся фигура — не совсем прямо­уголь­ник, поэтому и  был напи­сан знак при­ближён­ного равен­ства. При этом понятно, что если круг делить на большее коли­че­ство оди­на­ко­вых частей, то отли­чие от прямо­уголь­ника будет всё меньше и меньше. В пре­деле, фигура не будет отли­чаться от прямо­уголь­ника, а зна­чит, такая модель не только наглядна, но и вполне законна.

Модель можно изго­то­вить из дерева и полоски кожи. Кожу стоит под­би­рать отлич­ного от дерева цвета, чтобы явно выде­ля­лась окруж­ность в круге и длин­ные сто­роны в почти прямо­уголь­нике. В одной из  поло­ви­нок круга один из сек­то­ров стоит раз­бить на две части — так, чтобы внеш­ние детали были поло­вин­ками стан­дарт­ных сек­то­ров. Тогда полу­чивша­яся после сложе­ния фигура будет больше похо­дить на прямо­уголь­ник. В про­тив­ном слу­чае — на  парал­ле­лограмм.

Другие модели раздела «Круг, окружность»