Площадь круга: сведение к площади треугольника

Площадь круга ради­уса $R$ равна $S = \pi \cdot R^2$. Убе­димся в этом, восполь­зо­вавшись уме­нием вычис­лять площадь тре­уголь­ника.

Собе­рём круг из концен­три­че­ски рас­по­ложен­ных поло­сок, напри­мер, кожи. Внеш­няя должна быть самой длин­ной, сле­дующая чуть короче и т.д. Длину стоит под­би­рать так, чтобы при сги­ба­нии полу­чался круг. На одном из ради­у­сов схо­дятся концы поло­сок.

Раз­вер­нём одно­временно все полоски и круг пре­вра­тится в почти тре­уголь­ник. «Почти», потому что боко­вые сто­роны — не прямые линии, а состоят из ступе­нек. В школе про­хо­дится несколько формул для вычис­ле­ния площади тре­уголь­ника (и все они дают оди­на­ко­вый результат!). Восполь­зу­емся одной из них — площадь тре­уголь­ника равна поло­вине про­из­ве­де­ния длины сто­роны (напри­мер, осно­ва­ния) на длину высоты, про­ве­ден­ной к этой сто­роне. Длина осно­ва­ния в нашем слу­чае равна в точ­но­сти длине окруж­но­сти изна­чаль­ного круга, т.е. $2 \cdot \pi \cdot R$. А длина высоты есть про­сто радиус круга. Таким обра­зом площадь полу­чившейся фигуры $S ≈ (1/2) \cdot (2 \cdot \pi \cdot R) \cdot R ≈ \pi \cdot R^2$.

Исполь­зо­вана формула для площади тре­уголь­ника, однако полу­чивша­яся фигура — не совсем тре­уголь­ник, поэтому и был напи­сан знак при­ближён­ного равен­ства. При этом понятно, что если круг делать из всё более тон­ких поло­сок, то ступеньки на боко­вых сто­ро­нах будут всё меньше. И в пре­деле, фигура не будет отли­чаться от тре­уголь­ника, а зна­чит, такое рас­суж­де­ние вполне законно.

Другие модели раздела «Круг, окружность»