Площадь трапеции: сведение к площади прямоугольника

Площадь трапе­ции равна про­из­ве­де­нию полу­суммы длин осно­ва­ний на длину высоты. Или, короче, «полу­сумме осно­ва­ний на высоту».

Про­ил­лю­стри­ро­вать эту формулу, а, если она забыта, выве­сти, можно восполь­зо­вавшись форму­лой вычис­ле­ния площади прямо­уголь­ника. Для этого необ­хо­димо раз­ре­зать трапе­цию так, чтобы из полу­чен­ных частей состав­лялся прямо­уголь­ник.

Про­ве­дём из сере­дин боко­вых сто­рон трапе­ции перпен­ди­ку­ляры на длин­ное осно­ва­ние и раз­режем вдоль них трапе­цию. Отре­зан­ные два прямо­уголь­ных тре­уголь­ника при­ложим гипо­те­ну­зами к оставшимся частям боко­вых сто­рон. Полу­чен­ная фигура явля­ется прямо­уголь­ни­ком.

Длина одной пары сто­рон прямо­уголь­ника совпа­дает с дли­ной $h$ высоты трапе­ции. Сумма длин двух других сто­рон равна сумме длин осно­ва­ний трапе­ции, а, зна­чит, длина одной сто­роны равна полу­сумме длин осно­ва­ний, то есть $(a+b)/2$. Таким обра­зом, площадь прямо­уголь­ника, а зна­чит и площадь исход­ной трапе­ции, равна $ S = (a+b) / 2 \cdot h$.

Для пол­ного дока­за­тельства сле­дует ещё убе­диться, что полу­чивша­яся после пере­кла­ды­ва­ния тре­уголь­ни­ков фигура в действи­тель­но­сти явля­ется прямо­уголь­ни­ком — каж­дая боко­вая сто­рона и состав­ное осно­ва­ние являются прямыми лини­ями, а соот­вет­ствующие сто­роны парал­лельны друг другу. Прямо­уголь­ность же углов заложена в самом спо­собе раз­ре­за­ния — по перпен­ди­ку­ля­рам к осно­ва­нию.

Модель можно делать из доски толщи­ной около 10 мм. Отре­за­емые прямо­уголь­ные тре­уголь­ники удобно соеди­нять с оставшейся частью трапе­ции при помощи маг­ни­тов: маг­ниты нужно вста­вить в катеты тре­уголь­ни­ков, чтобы полу­чать исход­ную трапе­цию, и в гипо­те­нузы, чтобы полу­чать прямо­уголь­ник.

Другие модели раздела «Площади фигур и равносоставленность»