200 лет назад, 11 февраля 1826 года (по старому стилю), профессор Императорского Казанского университета Николай Иванович Лобачевский
на заседании комиссии Отделения физико-математических наук сделал первый доклад про неевклидову геометрию.
Препровождаю сочинение моё под названием: Exposition succincte des principes de la Géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles
[…]
Профессор Н. Лобачевский. 6 февраля 1826.
[С фр. — Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных.]
Помета рукою секретаря Отделения адъюнкта П. М. Васильева:
Слушано 1826 года 11 февраля. Определено: поручить рассмотреть сочинение гг. профессорам Симонову, Купферу и адъюнкту Брашману и мнение своё сообщить Отделению.
[Само сочинение вышло в свет позднее как часть сочинения «О началах геометрии», где к заглавию приведена сноска о докладе.]
На евклидовой плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (пятый постулат Евклида в формулировке Прокла). В геометрии Лобачевского…
параллельные прямые пересекаются
нельзя провести ни одной параллельной
можно провести много параллельных
По самому определению параллельные прямые не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. В сферической геометрии через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной; а в геометрии Лобачевского можно провести много таких прямых.
2
На евклидовой плоскости через две различные точки можно провести ровно одну прямую. В сферической геометрии…
через любые две точки можно провести ровно одну прямую
через любые две точки можно провести много прямых
зависит от точек
В сферической геометрии через две близкие точки можно провести ровно одну прямую, а через две диаметрально противоположные точки — бесконечно много. В этом смысле геометрия Лобачевского ближе к евклидовой, чем сферическая.
3
Сумма внутренних углов треугольника на евклидовой плоскости равна $\pi$ (двум прямым). Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского…
меньше $\pi$
равна $\pi$
больше $\pi$
Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше $\pi$. А вот в сферической геометрии — больше $\pi$. Например, легко сконструировать треугольник с тремя прямыми углами: одна вершина в полюсе и две на экваторе.
4
В евклидовой геометрии верна теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, $c^2 = a^2+b^2$. В геометрии Лобачевского…
$c^2 \lt a^2+b^2$
$c^2 \gt a^2+b^2$
нет никакого соотношения
В сферической геометрии для прямоугольных треугольников $\cos c=\cos a\cos b$ и, следовательно, $c^2 \lt a^2+b^2$. В геометрии Лобачевского тригонометрические функции заменяются на гиперболические: $\ch c=\ch a\ch b$ и, следовательно $c^2 \gt a^2+b^2$.
5
В евклидовой геометрии из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг (третий постулат Евклида). Длина окружности равна $2\pi r$. В геометрии Лобачевского длина окружности…
ограничена
возрастает с увеличением радиуса
В сферической геометрии и радиус окружности, и длина окружности ограничены. Радиус не больше длины меридиана, а длина окружности равна $2\pi\sin r$ и не превосходит длины прямой — большого круга сферы. В геометрии Лобачевского длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi\sh r$ и очень быстро растёт с ростом $r$.
