Латинское discriminare означает «обособлять», «разделять», «различать». Отсюда происходит и слово дискриминация, отсюда и знакомое всем слово дискриминант, возникающее в школьном курсе математики при решении квадратных уравнений. А различает этот «школьный» дискриминант квадратные уравнения: те у которых два решения, от уравнений, у которых решений в действительных числах нет. В других терминах — параболы, пересекающиеся с осью абсцисс, и параболы с ней не пересекающиеся.
Мир квадратных уравнений $ax^2+bx+c=0$ имеет геометрического двойника: на плоскости $Oxy$ каждому такому уравнению соответствует парабола $y=ax^2+bx+c$. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх, если $a < 0$ — вниз (случай $a=0$ не рассматривается, так как тогда отсутствует квадратный член). Точки пересечения параболы с осью $Ox$ находятся решением квадратного уравнение $ax^2+bx+c=0$: считается дискриминант $$D=b^2-4ac$$ и, если он больше нуля, то вычисляются корни $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$$ Если дискриминант $D=0$, то корни «слипаются», парабола касается оси асбцисс в одной точке. Если дискриминант $D<0$, то действительных корней у квадратного уравнения нет и парабола не пересекается с осью $Ox$. Посмотрим на понятие дискриминанта с геометрической точки зрения.
Квадратные уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ удобнее изучать приведя их к виду $x^2+px+q=0$ (разделив обе части на $a$; $p=b/a$, $q=c/a$). Корни остаются неизменными, а параметров становится меньше — всего два: $p$ и $q$. Мир квадратных уравнений обретает ещё одно описание — пространство параметров становится плоскость $Opq$: каждое уравнение $x^2+px+q=0$ «кодируется» точкой $(p,q)$ плоскости параметров.
Для уравнения $x^2+px+q=0$ формула дискриминанта принимает вид $D=p^2-4q$. На плоскости параметров уравнение $D=0$ задаёт дискриминантную кривую $p^2-4q=0$ — параболу $q=\frac14 p^2$. Она разделяет плоскость параметров на две области. Все точки, лежащие под этой параболой, соответствуют многочленам у которых два корня, точки над этой параболой — многочленам у которых нет (действительных) корней. Точки самой дискриминантной кривой соответствуют многочленам с одним (кратным) корнем.
Какое множество на плоскости параметров описывает квадратные уравнения один корень у которых фиксирован?
При $q=0$ многочлен $x^2+px+q$ принимает вид $x(x+p)$: у соответствующих квадратных уравнений всегда есть корень $x=0$, а одна из точек пересечения соответствующих парабол с осью абсцисс — точка начала координат. На плоскости параметров прямая $q=0$ (ось $Op$) — касательная к дискриминантной кривой в точке $x=0$. Это простое наблюдение имеет красивое нетривиальное обобщение. Все квадратные уравнения, соответствующие точкам одной касательной к дискриминантной кривой, имеют один общий корень: тот, что отвечает точке касания.
Квадратные уравнения, соответствующие точкам касательной к дискриминантной кривой, имеют два корня: на плоскости параметров дискриминант представляет собой параболу с ветвями вверх и касательная лежит под ней. Обозначим один из корней $x_0$, а второй через $t$. Квадратный многочлен с такими корнями имеет вид $(x-x_0)(x-t)=x^2-(x_0+t)x+x_0t$. То есть на плоскости параметров ему соответствует точка $(p, q)=(-x_0+t, x_0t)$, а при изменении $t$ такие точки заметают прямую.
Осталось понять, почему эта прямая касается дискриминантной кривой. Для этого достаточно вспомнить определение касательной. Наша прямая имеет с дискриминантной кривой ровно одну общую точку (уравнение имеет только один корень когда $t=x_0$) и при этом прямая не является вертикальной (т. е. не пересекается с дискриминантной кривой). А это и означает, что она касается параболы $D=0$.
Итак, множество квадратных уравнений, один корень у которых фиксирован, на плоскости параметров представляется касательной к дискриминантной кривой. Это наблюдение приводит к замечательным следствиям.
Сколько касательных можно провести к дискриминантной кривой — т. е. к обыкновенной параболе — из разных точек плоскости? Из точек над параболой ни одной — у соответствующих уравнений нет (действительных) корней, а из точек под параболой ровно две — по числу корней квадратного уравнения с положительным дискриминантом.
Проведение касательных к дискриминантной кривой доставляет геометрический способ решения квадратных уравнений: чтобы найти корни уравнения $x^2+px+q=0$ достаточно на плоскости параметров из точки $(p,q)$ провести касательные к дискриминантной кривой и посмотреть на точки касания. Уравнения, отвечающие точкам касательной, имеют общий корень, а корень уравнения «живущего» на дискриминантной кривой найти просто: соответствующее уравнение имеет вид $(x-x_0)^2=0$, т. е. $p=-2x_0$, $q=x_0^2$ и корень равен $-p/2$.
Сдвиг параболы вдоль оси $Ox$ не меняет ни число корней, ни расстояние между ними (в случае, когда их два). А чему соответствуют такие сдвиги на плоскости параметров?
Если парабола касается оси абсцисс, то корень один и соответствующая параболе точка плоскости параметров лежит на дискриминантной кривой. При «горизонтальных» сдвигах параболы точка движется по этой кривой.
Если парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, то, как мы знаем, точки пересечения находятся из решения квадратного уравнения. Формула решений квадратного уравнения $x_{1,2}=(-p\pm \sqrt{D})/2$ подсказывают, что расстояние между корнями не меняется, когда не меняется значение дискриминанта. Таким образом, горизонтальный сдвиг параболы соответствует движению точки на плоскости параметров по кривой $D=const$. Такие кривые — параболы, получающейся из дискриминантной кривой сдвигом по вертикали.
Преобразования плоскости, при которых все точки двигаются по параболам, в некотором смысле похожи на повороты. Только если при обычном повороте переходит в себя окружность, то при «параболическом повороте» — парабола (в данном случае, дискриминантная кривая). Такие преобразования — это часть замечательной, но малоизвестной геометрии Галилея (про неё можно прочитать в брошюре А. В. Хачатуряна «Геометрия Галилея» или в книге И. М. Яглома «Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия»).
Кажется самое время пересмотреть анимацию, а затем поисследовать мир квадратных уравнений с помощью интерактивной версией ниже. Можно как двигать точку на плоскости параметров, так и менять значения параметров $p$ и $q$.
При переходе через дискриминантную кривую малое непрерывное изменение параметров ($p$ и $q$) приводит к существенной перестройке изучаемой системы. Подобные объекты и явления изучает теория особенностей, которую ещё иногда называют теорией катастроф. Дискриминант полезно рассматривать для уравнений не только второй степени. Например, в мире уравнений четвёртой степени равенство нулю дискриминанта задаёт уже поверхность в трёхмерном пространстве, которая называется Ласточкин хвост. Поверхность «ласточкин хвост» — главный герой картин Сальвадора Дали в серии «Теория катастроф».
Литература
Васильев В. А. Геометрия дискриминанта. — М.: МЦНМО, 2017. — (Библиотека «Математическое просвещение»; Вып. 41).
Табачников С. Л. Геометрия уравнений // Журнал «Квант». — 1988. — № 10. — Cтр. 10—16.
Арнольд В. И. Теория катастроф. — 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1990.
Сгибнев А. И. Исследовательские задачи для начинающих. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2015.
