Дискриминант

Латин­ское discriminare озна­чает «обособ­лять», «раз­де­лять», «раз­ли­чать». Отсюда про­ис­хо­дит и слово дис­кри­ми­нация, отсюда и зна­комое всем слово дис­кри­ми­нант, воз­ни­кающее в школь­ном курсе матема­тики при реше­нии квад­рат­ных урав­не­ний. А раз­ли­чает этот «школь­ный» дис­кри­ми­нант квад­рат­ные урав­не­ния: те у кото­рых два реше­ния, от урав­не­ний, у кото­рых реше­ний в действи­тель­ных чис­лах нет. В других терми­нах — пара­болы, пере­се­кающи­еся с осью абс­цисс, и пара­болы с ней не пере­се­кающи­еся.

q =
1/4
p2
y = x2 + px + q
 
 
D > 0два корня
D = 0один (кратный) корень
D < 0нет (действительных) корней
D > 0один корень не меняется
D = constгоризонтальный сдвиг
0,0
0,0

Мир квад­рат­ных урав­не­ний $ax^2+bx+c=0$ имеет геомет­ри­че­ского двой­ника: на плос­ко­сти $Oxy$ каж­дому такому урав­не­нию соот­вет­ствует пара­бола $y=ax^2+bx+c$. Если $a > 0$, то ветви пара­болы направ­лены вверх, если $a < 0$ — вниз (слу­чай $a=0$ не рас­смат­ри­ва­ется, т.к. тогда отсут­ствует квад­рат­ный член). Точки пере­се­че­ния пара­болы с осью $Ox$ нахо­дятся реше­нием квад­рат­ного урав­не­ние $ax^2+bx+c=0$: счи­та­ется дис­кри­ми­нант $$D=b^2-4ac$$ и, если он больше нуля, то вычис­ляются корни $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\ \ x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$$ Если дис­кри­ми­нант $D=0$, то корни «слипаются», пара­бола каса­ется оси асбцисс в одной точке. Если дис­кри­ми­нант $D<0$, то действительных корней у квадратного уравнения нет и парабола не пересекается с осью $Ox$. Посмотрим на понятие дискриминанта с геометрической точки зрения.

Квад­рат­ные урав­не­ния $$ax^2+bx+c=0$$ удоб­нее изу­чать при­ведя их к виду $x^2+px+q=0$ (раз­де­лив обе части на $a$; $p=b/a$, $q=c/a$). Корни остаются неизмен­ными, а парамет­ров ста­но­вится меньше – всего два: $p$ и $q$. Мир квад­рат­ных урав­не­ний обре­тает ещё одно опи­са­ние – про­стран­ство парамет­ров ста­но­вится плос­кость $Opq$: каж­дое урав­не­ние $x^2+px+q=0$ «коди­ру­ется» точ­кой $(p,q)$ плос­ко­сти парамет­ров.

Для урав­не­ния $x^2+px+q=0$ формула дис­кри­ми­нанта при­нимает вид $D=p^2-4q$. На плос­ко­сти парамет­ров урав­не­ние $D=0$ задаёт дис­кри­ми­нант­ную кри­вую $p^2-4q=0$ – пара­болу $q=\frac14 p^2$. Она раз­де­ляет плос­кость парамет­ров на две обла­сти. Все точки, лежащие под этой пара­бо­лой, соот­вет­ствуют много­чле­нам у кото­рых два корня, точки над этой пара­бо­лой — много­чле­нам у кото­рых нет (действи­тель­ных) кор­ней. Точки самой дис­кри­ми­нант­ной кри­вой соот­вет­ствуют много­чле­нам с одним (крат­ным) кор­нем.

Какое множе­ство на плос­ко­сти парамет­ров опи­сы­вает квад­рат­ные урав­не­ния один корень у кото­рых фик­си­ро­ван?

При $q=0$ много­член $x^2+px+q$ при­нимает вид $x(x+p)$: у соот­вет­ствующих квад­рат­ных урав­не­ний все­гда есть корень $x=0$, а одна из точек пере­се­че­ния соот­вет­ствующих пара­бол с осью абс­цисс — точка начала коор­ди­нат. На плос­ко­сти парамет­ров прямая $q=0$ (ось $Op$) — каса­тель­ная к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой в точке $x=0$. Это про­стое наблю­де­ние имеет кра­си­вое нетри­ви­аль­ное обобще­ние. Все квад­рат­ные урав­не­ния, соот­вет­ствующие точ­кам одной каса­тель­ной к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой, имеют один общий корень: тот, что отве­чает точке каса­ния.

Квад­рат­ные урав­не­ния, соот­вет­ствующие точ­кам каса­тель­ной к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой, имеют два корня: на плос­ко­сти парамет­ров дис­кри­ми­нант пред­став­ляет собой пара­болу с вет­вями вверх и каса­тель­ная лежит под ней. Обо­зна­чим один из кор­ней $x_0$, а вто­рой через $t$. Квад­рат­ный много­член с такими кор­нями имеет вид $(x-x_0)(x-t)=x^2-(x_0+t)x+x_0t$. То есть на плос­ко­сти парамет­ров ему соот­вет­ствует точка $(p, q)=(-x_0+t, x_0t)$, а при изме­не­нии $t$ такие точки заме­тают прямую.

Оста­лось понять, почему эта прямая каса­ется дис­кри­ми­нант­ной кри­вой. Для этого доста­точно вспом­нить опре­де­ле­ние каса­тель­ной. Наша прямая имеет с дис­кри­ми­нант­ной кри­вой ровно одну общую точку (урав­не­ние имеет только один корень когда $t=x_0$) и при этом прямая не явля­ется вер­ти­каль­ной (т.е. не пере­се­ка­ется с дис­кри­ми­нант­ной кри­вой). А это и озна­чает, что она каса­ется пара­болы $D=0$.

Итак, множе­ство квад­рат­ных урав­не­ний, один корень у кото­рых фик­си­ро­ван, на плос­ко­сти парамет­ров пред­став­ля­ется каса­тель­ной к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой. Это наблю­де­ние при­во­дит к заме­ча­тель­ным след­ствиям.

Сколько каса­тель­ных можно про­ве­сти к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой — т.е. к обык­но­вен­ной пара­боле — из раз­ных точек плос­ко­сти? Из точек над пара­бо­лой ни одной — у соот­вет­ствующих урав­не­ний нет (действи­тель­ных) кор­ней, а из точек под пара­бо­лой ровно две — по числу кор­ней квад­рат­ного урав­не­ния с положи­тель­ным дис­кри­ми­нан­том.

Про­ве­де­ние каса­тель­ных к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой достав­ляет геомет­ри­че­ский спо­соб реше­ния квад­рат­ных урав­не­ний: чтобы найти корни урав­не­ния $x^2+px+q=0$ доста­точно на плос­ко­сти парамет­ров из точки $(p,q)$ про­ве­сти каса­тель­ные к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой и посмот­реть на точки каса­ния. Урав­не­ния, отве­чающие точ­кам каса­тель­ной, имеют общий корень, а корень урав­не­ния «живущего» на дис­кри­ми­нант­ной кри­вой найти про­сто: соот­вет­ствующее урав­не­ние имеет вид $(x-x_0)^2=0$, т.е. $p=-2x_0$, $q=x_0^2$ и корень равен $-p/2$.

Сдвиг пара­болы вдоль оси $Ox$ не меняет ни число кор­ней, ни рас­сто­я­ние между ними (в слу­чае, когда их два). А чему соот­вет­ствуют такие сдвиги на плос­ко­сти парамет­ров?

Если пара­бола каса­ется оси абс­цисс, то корень один и соот­вет­ствующая пара­боле точка плос­ко­сти парамет­ров лежит на дис­кри­ми­нант­ной кри­вой. При «гори­зон­таль­ных» сдвигах пара­болы точка движется по этой кри­вой.

Если пара­бола имеет два пере­се­че­ния с осью $Ox$, то, как мы знаем, точки пере­се­че­ния нахо­дятся из реше­ния квад­рат­ного урав­не­ния. Формула реше­ний квад­рат­ного урав­не­ния $x_{1,2}=(-p\pm \sqrt{D})/2$ под­ска­зы­вают, что рас­сто­я­ние между кор­нями не меня­ется, когда не меня­ется зна­че­ние дис­кри­ми­нанта. Таким обра­зом, гори­зон­таль­ный сдвиг пара­болы соот­вет­ствует движе­нию точки на плос­ко­сти парамет­ров по кри­вой $D=const$. Такие кри­вые — пара­болы, полу­чающейся из дис­кри­ми­нант­ной кри­вой сдвигом по вер­ти­кали.

Пре­об­ра­зо­ва­ния плос­ко­сти, при кото­рых все точки двигаются по пара­бо­лам, в неко­то­ром смысле похожи на пово­роты. Только если при обыч­ном пово­роте пере­хо­дит в себя окруж­ность, то при «пара­бо­ли­че­ском пово­роте» — пара­бола (в дан­ном слу­чае, дис­кри­ми­нант­ная кри­вая). Такие пре­об­ра­зо­ва­ния — это часть заме­ча­тель­ной, но мало­из­вест­ной геомет­рии Гали­лея (про неё можно про­чи­тать в брошюре А. В. Хача­ту­ряна «Геомет­рия Гали­лея» или в книге И. М. Яглома «Принцип отно­си­тель­но­сти Гали­лея и неев­кли­дова геомет­рия»).

Кажется самое время пере­смот­реть анимацию, а затем поис­сле­до­вать мир квад­рат­ных урав­не­ний с помощью интер­ак­тив­ной вер­сией ниже. Можно как двигать точку на плос­ко­сти парамет­ров, так и менять зна­че­ния парамет­ров $p$ и $q$.

q =
1/4
p2
y = x2 + px + q
 
 
0,0
0,0

При пере­ходе через дис­кри­ми­нант­ную кри­вую малое непре­рыв­ное изме­не­ние парамет­ров ($p$ и $q$) при­во­дит к суще­ствен­ной пере­стройке изу­ча­емой системы. Подоб­ные объекты и явле­ния изу­чает тео­рия осо­бен­но­стей, кото­рую ещё иногда назы­вают тео­рией ката­строф. И этот сюжет ещё будет про­должен: нас ждёт изу­че­ние дис­кри­ми­нанта для куби­че­ских урав­не­ний и урав­не­ний чет­вёр­той степени. На этом пути мы уви­дим даже кар­тины Саль­ва­дора Дали!

Лите­ра­тура

Васи­льев В. А. Геомет­рия дис­кри­ми­нанта. — М.: МЦНМО, 2017. — (Биб­лио­тека «Матема­ти­че­ское про­свеще­ние»; Вып. 41).

Арнольд В. И. Тео­рия ката­строф. — 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1990.

Сгиб­нев А. И. Иссле­до­ва­тельские задачи для начи­нающих. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2015.

Другие этюды раздела «Геометрия формул»