Кратчайшая⁠

Наша пла­нета — Земля — имеет вид шара, слегка при­плюс­ну­того по полю­сам. Довольно давно люди исполь­зуют гло­бус в виде сферы для изоб­раже­ния Земли. Но ещё более древ­ний спо­соб пред­став­ле­ния зем­ной поверх­но­сти — карта.

Сфера явля­ется поверх­но­стью посто­ян­ной положи­тель­ной кри­визны, и поэтому её нельзя раз­ложить на плос­кость без искаже­ний. Спо­собы постро­е­ния карт — кар­тографи­че­ские про­екции — имеют дав­нюю и очень инте­рес­ную исто­рию, какие-то из этих пред­став­ле­ний более при­вычны нам, какие-то исполь­зуются только в спе­ци­аль­ных вопро­сах и реже встре­чаются в обы­ден­ной жизни, однако это тема для другого мультфильма.

Когда-то была очень хорошая тра­диция вешать карту на кухне или в дет­ской ком­нате. Любое новост­ное сообще­ние сразу имело нагляд­ную географи­че­скую интер­пре­тацию.

Посмот­рим на карту, выпол­нен­ную в одной из стан­дарт­ных про­екций, и про­сле­дим на ней, по какому марш­руту летают само­леты из Москвы на восток нашей страны, напри­мер, во Вла­ди­во­сток. Если вы когда-нибудь про­де­лы­вали этот марш­рут, то навер­няка заме­тили, что само­лёт заби­ра­ется высоко вверх по карте.

Но полёт само­лета — очень дорогое удо­вольствие. Зачем же они делают такой крюк, если можно было бы про­ле­теть более корот­ким марш­ру­том, соот­вет­ствующим на карте прямой?

Всё дело в том, что поня­тие крат­чайшего рас­сто­я­ния нераз­рывно свя­зано с той поверх­но­стью, по кото­рой оно изме­ря­ется. Как уже отме­ча­лось, любая плос­кая карта пред­став­ляет зем­ную поверх­ность с искаже­ни­ями. Давайте рас­смот­рим соот­вет­ствующие тра­ек­то­рии на гло­бусе. И вот только теперь можно судить о длине обсуж­да­емых марш­ру­тов.

Чтобы найти крат­чайшее рас­сто­я­ние между двумя точ­ками на сфере, необ­хо­димо про­ве­сти через них большую окруж­ность. Это окруж­ность, обра­зо­ван­ная пере­се­че­нием сферы с плос­ко­стью, про­хо­дящей через центр сферы и наши точки. Минималь­ная из двух дуг большой окруж­но­сти, соеди­няющая точки, и только она явля­ется крат­чайшим рас­сто­я­нием на сфере между ними. В матема­тике линию, отве­чающую минималь­ному рас­сто­я­нию между двумя точ­ками, назы­вают гео­де­зи­че­ской на рас­смат­ри­ва­емой поверх­но­сти.

Все осталь­ные марш­руты, соеди­няющие Москву и Вла­ди­во­сток, в том числе тот, кото­рый казался прямым на карте, будут длин­нее этой дуги!

Как видим, само­лёты летают именно по дуге большой окруж­но­сти, т. е. по самому корот­кому пути.