Возьмите прямоугольный лист бумаги, например А4, и, прежде чем смотреть фильм или картинки, попробуйте сделать из него тетраэдр. Не обязательно правильный, но так, чтобы прямоугольник был именно его развёрткой: в получившемся тетраэдре не должно быть наложений слоёв бумаги.
Возьмём правильный тетраэдр и разрежем его по красным линиям. Разогнув по рёбрам, мы получим прямоугольник с отношением сторон $\sqrt{3}$.
По такой схеме можно сложить тетраэдр из любого прямоугольного листа. Поделим прямоугольный лист пополам отрезком, параллельным короткой стороне. Этот отрезок будет одним из рёбер будущего тетраэдра. Соединим его концы с серединами коротких сторон — получим ещё четыре ребра тетраэдра. Дальше остаётся только правильно сложить.
Из квадратного листа бумаги тетраэдр по такой схеме сложить не получится. Если лист близок к квадрату (отношение сторон близко к 1), то получится тетраэдр с тупым двугранным углом. У листа А4, который чаще всего под рукой, отношение сторон с хорошей точностью $\sqrt{2}$. Из него получается тетраэдр с двугранным углом равным $90^\circ$.
Представленный способ не является единственным возможным. Например, длинный прямоугольник можно рассматривать как другую по типу развёртку. Но по результату она эквивалентна развёртке рассмотренного типа для вдвое менее длинного и вдвое более широкого прямоугольника
А какие ещё многогранники кроме тетраэдра можно сложить из прямоугольного листа бумаги? Подумать над этим вопросом поможет фильм Вершины многогранника и брошюра Н. П. Долбилина «Жемчужины теории многогранников». А ответ будет в одном из следующих фильмов.
Литература
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников. — М. : МЦНМО, 2000.
Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»
