Теорема о двух кругах явно предъявляет касательные к траектории, описываемой фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по некоторой гладкой линии. Разберём теорему на примере циклоиды, а затем применим к эпициклоидам и гипоциклоидам.
По теореме Коперника, если окружность (круг) катится без проскальзывания по внутренней стороне окружности вдвое большего радиуса, то фиксированная точка малой окружности движется по диаметру большой окружности.
Если оба круга катятся без проскальзывания по прямой и касаются её в одной точке, то условия теоремы Коперника выполняются, и фиксированная точка малой окружности в каждый момент времени лежит на фиксированном диаметре большого круга.
При движении без скольжения центром качения круга является точка касания с прямой. А значит, вектор скорости точки малой окружности в каждый момент времени направлен по перпендикуляру к отрезку, соединяющему точку с центром моментального вращения — с точкой касания круга с дорогой. Раз угол 90 градусов, вектор скорости смотрит в верхнюю в данный момент точку малого круга. Таким образом, его направление совпадает с направлением диаметра большого круга.
При качении по прямой фиксированная точка малой окружности вычерчивает циклоиду. Вектор скорости этой точки является касательной к траектории, а значит, касательными к циклоиде являются и диаметры большого круга.
Утверждение теоремы о двух кругах остаётся верным, если линия, по которой катятся круги, не является прямой. Рассмотрим случай эпициклоид.
Малый круг катится по окружности такого же радиуса. Его точка вырисовывает кардиоиду. Диаметры в два раза большего круга являются касательным к этой кардиоиде.
Анализ положений диаметра большого катящегося круга приводит к правилу «вязания» кардиоиды $k\to 2k$. И, соответственно, завершает доказательство того, что в конической чашке мы видим каустику в виде кардиоиды.
Если малый круг в два раза меньше круга, по которому он катится, то его точка вырисовывает нефроиду. Диаметры катящегося большого круга являются касательным к этой нефроиде.
Анализ положений диаметра большого катящегося круга приводит к правилу «вязания» нефроиды $k\to 3k$. И, соответственно, завершает доказательство того, что в цилиндрической чашке мы видим каустику в виде нефроиды.
В качестве примера гипоциклоиды рассмотрим астроиду: траекторию точки окружности (малый круг), катящейся без проскальзывания по внутренней стороне окружности вчетверо большего радиуса. Диаметры катящегося большого круга являются касательными к астроиде и заметают её внутренность.
Литература
Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — 2-е изд. — М. : Наука, 1978. — [§ 7 «Вращения и траектории»]. — [Интернет-версия].
