Площадь правильного двенадцатиугольника⁠

Одно из кра­си­вых дока­за­тельств того, что площадь две­на­дца­ти­уголь­ника равна трём квад­ра­там ради­уса опи­сан­ной окруж­но­сти, при­над­лежит венгер­скому матема­тику Йожефу Кюршаку.

Чет­вер­тинка две­на­дца­ти­уголь­ника раз­би­ва­ется на пра­виль­ные тре­уголь­ники и рав­но­бед­рен­ные с углами $15^\circ$, $15^\circ$ и $150^\circ$. После пере­кладки полу­ча­ется фигура, рав­ная трём чет­вер­тям квад­рата со сто­ро­ной, рав­ной диаметру опи­сан­ной около две­на­дца­ти­уголь­ника окруж­но­сти.

Площадь пра­виль­ного $n$-уголь­ника, впи­сан­ного в еди­нич­ную окруж­ность, равна $\frac{n}{2} \cdot \sin\frac{360^\circ }{n}$. Синус при­нимает раци­о­наль­ное зна­че­ние только при $n=4$ (квад­рат, $90^\circ$) и $n=12$ (две­на­дца­ти­уголь­ник, $30^\circ$).