Исчезающая клетка и числа Фибоначчи⁠

Ещё один извест­ный геомет­ри­че­ский софизм: прямо­уголь­ный тре­уголь­ник с кате­тами $5$ и $13$ раз­ре­за­ется на четыре части, из кото­рых скла­ды­ва­ется тот же прямо­уголь­ный тре­уголь­ник, но уже с одной пустой клет­кой!

Чтобы было легче разгля­деть этот парал­ле­лограмм, посмот­рим на ана­лог «тре­уголь­ника Гард­нера» меньшего размера — со сто­ро­нами $3$ и $5$.

Разо­бравшись с несты­ков­кой, задума­емся, как кон­стру­и­ро­вать подоб­ные софизмы. Можно заме­тить, что встре­чавши­еся числа $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13$ являются нача­лом знаме­ни­той после­до­ва­тель­но­сти чисел Фибо­наччи

$\{1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13,$ $21,$ $34,$ $55,$ $89,\ \dotso\}.$

Эта после­до­ва­тель­ность зада­ётся рекур­рент­ным соот­ноше­нием $$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ и парой началь­ных чисел $F_0=1$, $F_1=1$.

Между чис­лами Фибо­наччи суще­ствует много инте­рес­ных соот­ноше­ний. В $1680$ году фран­цуз­ский аст­ро­ном ита­льян­ского про­ис­хож­де­ния Джо­ванни Доми­нико Кас­сини, открывший спут­ники Сатурна и щель в его коль­цах, заме­тил такое соот­ноше­ние: $F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$, кото­рое теперь назы­вают его име­нем.

При $n=6$ полу­ча­ется равен­ство $5\cdot 13-8^2=1$ — зна­комые по «Пара­доксу шахмат­ной доски» числа и зна­комое уве­ли­че­ние на еди­ницу! А вот при­нять за сто­рону квад­рата число Фибо­наччи с нечёт­ным номе­ром нельзя — детали в соот­вет­ствующий прямо­уголь­ник можно сложить только с наложе­нием (в пере­се­че­нии — всё тот же парал­ле­лограмм еди­нич­ной площади).

В «тре­уголь­нике Гард­нера» катеты маленьких (насто­ящих и не меняющих площадь) тре­уголь­ни­ков являются чис­лами Фибо­наччи: у крас­ного — 3 и 8, у жёл­того — 2 и 5. Соот­вет­ственно сто­роны прямо­уголь­ника (в кото­ром и про­ис­хо­дит уве­ли­че­ние на клетку) полу­чаются: до пере­кладки — 3 и 5, а после пере­кладки — 2 и 8. Уве­ли­че­ние площади прямо­уголь­ника на клетку обес­пе­чи­вает соот­ноше­ние на четыре после­до­ва­тель­ных числа Фибо­наччи: $F_{n}\cdot F_{n-3}-F_{n-1}\cdot F_{n-2}=(-1)^n$, кото­рое можно полу­чить из соот­ноше­ния Кас­сини и рекур­рент­ного соот­ноше­ния. Для $n=6$ полу­ча­ется равен­ство $8\cdot 2-5\cdot 3=1$, на кото­ром осно­ван «тре­уголь­ник Гард­нера».

Таким обра­зом, софизмы постро­ены на том, что размеры фигур и частей, из кото­рых они состав­ляются, суть нескольких под­ряд идущих чис­лах Фибо­наччи. Опи­ра­ясь на эти соот­ноше­ния можно постро­ить ана­логич­ные софизмы и для фигур больших разме­ров. В вари­анте Лойда надо не забы­вать про чёт­ность, а в вари­анте Гард­нера — если желать, чтобы площадь соби­ра­лась в квад­рат­ную клетку, при­дётся уве­ли­чи­вать коли­че­ство частей, из кото­рых состав­лен основ­ной прямо­уголь­ник.

Появившийся еди­нич­ный парал­ле­лограмм и его диаго­наль являются объек­тами кра­си­вой науки, начала кото­рой заложил Герман Мин­ков­ский, — геомет­рии чисел. Более точно — геомет­ри­че­ской интер­пре­тации цеп­ных дро­бей.

На рисунке пока­зана прямая $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}2y$ и отме­чены наи­бо­лее близ­кие к ней узлы сетки. Их коор­ди­наты — сосед­ние числа Фибо­наччи, а сами точки, пры­гая пооче­рёдно то выше прямой, то ниже, при­ближаются к ней. А отноше­ния сосед­них чисел Фибо­наччи дают в неко­то­ром смысле наи­лучшие раци­о­наль­ные при­ближе­ния золо­того сече­ния… Заин­триго­ван­ному чита­телю сове­туем брошюру Вла­ди­мира Иго­ре­вича Арнольда «Цеп­ные дроби».