Математические этюды

Парабола: изонить ⁠

Парабола: изонить

Всего лишь натянутые прямые нити, а вырисовывается картина. Такая техника называется string art, curve stitching, изонить, вышивка по картону. Эти слова можно встретить и когда говорят о детском творчестве, и когда говорят об искусстве. И даже когда говорят о науке: изонить позволяет увидеть ⁠⁠кардиоиду и нефроиду, лучше понять физическое явление «каустика» и его математическую основу — геометрическое понятие «огибающая». А в представленной модели изонить вырисовывает параболу.

Парабола: string art, curve stitching, изонить

На сторонах произвольного угла отметим одинаковое количество точек так, чтобы шаг между точками на каждой из сторон был постоянным. Занумеруем их на одной стороне «от вершины угла», а на другой стороне — «к вершине угла». Если соединить нитями точки с одинаковыми номерами, то увидим параболу!

В «симметричном случае», — когда «шаг» между точками на обеих сторонах одинаковый, — ось параболы будет совпадать с высотой треугольника. Если от вершины треугольника и от основания отступить одинаковое количество шагов, то вершина параболы будет лежать на средней линии треугольника; несложно построить и положение фокуса параболы. Если шаги между точками на разных сторонах отличаются, то парабола будет «повёрнута» относительно треугольника.

Различные реализации этой идеи встречаются и как детское творчество, и как элемент в произведениях искусства.

Доказательство, что получающаяся при таком построении огибающая является параболой, основывается на том, что при аффинном преобразовании парабола переходит в параболу (заметим, что при этом фокус и директриса не переходят в фокус и директрису). Так общий случай сводится к частному, когда треугольник равнобедренный и прямоугольный; а точки расположены на сторонах без отступов от углов. А этот случай в точности совпадает с построением параболы в миниатюре ⁠⁠Парабола как огибающая.

Это доказательство аналогично решению следующей задачи о двух пешеходах. По пересекающимся прямым с различными скоростями идут два пешехода, причём точку пересечения прямых они проходят в разные моменты времени. Оказывается, огибающая всевозможных прямых, соединяющих пешеходов, является параболой.

Считается, что техника string art как искусство восходит к английским ткачам XVII века, которые, вбивая гвозди в дощечки и в определённой последовательности натягивая нити, делали украшения для дома. Со временем техника утратила популярность, и интерес к ней возродился лишь в середине XIX века, когда Мэри Буль — педагог, автор книг, популяризатор идей, помощница и жена математика и логика Джорджа Буля, …, популяризировала старинный вид рукоделия в качестве оригинального способа обучения детей азам математики.