Октаэдр и правильные тетраэдры

К одной из гра­ней октаэдра при­ста­вили пра­виль­ный тет­раэдр с такими же дли­нами рёбер. Сколько гра­ней у полу­чившегося многогран­ника? Как соот­но­сятся объёмы октаэдра и пра­виль­ного тет­раэдра? Изго­то­вив октаэдр и несколько пра­виль­ных тет­раэд­ров с оди­на­ко­выми дли­нами рёбер, можно отве­тить на эти вопросы без вычис­ле­ний.

Октаэдр — один из пяти пра­виль­ных многогран­ни­ков; у него восемь гра­ней — пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков. Если положить октаэдр гра­нью на стол, то про­ти­вопо­лож­ная грань будет гори­зон­тальна. (Октаэдр явля­ется про­стейшим пред­ста­ви­те­лем антипризм.)

Поставьте на гори­зон­таль­ную грань октаэдра пра­виль­ный тет­раэдр с такой же дли­ной ребра, совме­стив их грани. Вы уви­дите, что грани тет­раэдра являются про­долже­ни­ями гра­ней октаэдра. Это иллю­стри­рует тот факт, что сумма дву­гран­ных углов октаэдра и пра­виль­ного тет­раэдра состав­ляет $180^\circ$. Таким обра­зом, когда вы при­став­ля­ете к октаэдру пра­виль­ный тет­раэдр, коли­че­ство гра­ней не уве­ли­чи­ва­ется, а уменьша­ется! У полу­чившегося многогран­ника гра­ней всего семь — меньше чем у октаэдра.

Октаэдр и правильный тетраэдр

Октаэдр можно пред­ста­вить как пере­се­че­ние двух двойствен­ных («про­ти­вопо­лож­ных») тет­раэд­ров, когда их рёбра пере­се­каются. Если это пом­нить, то факт пере­стаёт быть настолько уди­ви­тель­ным.

К октаэдру и сто­ящему на нём тет­раэдру при­ста­вим ещё три таких же тет­раэдра. Все вме­сте они обра­зуют в два раза больший пра­виль­ный тет­раэдр. Так как ребро большого тет­раэдра в два раза больше «еди­нич­ного», то его объём в восемь ($=2^3$) раз пре­вос­хо­дит объём еди­нич­ного. Зна­чит, объём октаэдра равен $8V-4V=4V$. Сле­до­ва­тельно, если у октаэдра и пра­виль­ного тет­раэдра оди­на­ко­вые длины рёбер, то объём тет­раэдра состав­ляет чет­верть от объёма октаэдра.

Правильный тетраэдр: октаэдр и четыре тетраэдра

При­ста­вим два тет­раэдра к про­ти­вопо­лож­ным гра­ням октаэдра. Полу­чится парал­ле­лепипед, у кото­рого есть своё назва­ние — пра­виль­ный ром­боэдр. Ром­боэдр — так как все грани у этого многогран­ника имеют форму ром­бов. А пра­виль­ный — так как все ромбы оди­на­ковы (и в каж­дом из них есть угол $60^\circ$).

Правильный ромбоэдр

У пра­виль­ного ром­боэдра есть ось симмет­рии тре­тьего порядка: диаго­наль, соеди­няющая «сво­бод­ные» вершины тет­раэд­ров. Если повер­нуть фигуру отно­си­тельно этой оси на $120^\circ$, то пра­виль­ный ром­боэдр перей­дёт в себя.

Правильный ромбоэдр: ось симметрии третьего порядка
Правильный ромбоэдр: аффинное преобразование куба

А если сжать пра­виль­ный ром­боэдр вдоль этой оси, то можно полу­чить куб. И так как при сжа­тиях (аффин­ных пре­об­ра­зо­ва­ниях) отноше­ния объёмов не меняются, то, опять же без вычис­ле­ний, легко понять, какую часть объёма куба состав­ляют его «углы» и «сред­няя часть».

Правильный ромбоэдр: фундаментальная область гранецентрированной кубической решётки
Правильный ромбоэдр: упаковка шаров

Пра­виль­ные ром­боэдры можно при­став­лять друг к другу, и таким обра­зом запол­нить, замо­стить всё трёхмер­ное про­стран­ство. При этом рёбра и вершины пра­виль­ных ром­боэд­ров обра­зуют знаме­ни­тую гра­нецен­три­ро­ван­ную куби­че­скую решётку, ГЦК. Если в её узлы (вершины ром­боэд­ров) поме­стить шары ради­уса, рав­ного поло­вине ребра (тет­раэдра или октаэдра), то это будет одно из рас­по­ложе­ний шаров, на кото­рых достига­ется мак­сималь­ная плот­ность упа­ковки шаров в трёхмер­ном про­стран­стве.

Другие модели раздела «Многогранники»