Геометрия неизгибаемости

Два пояса очень похожи по виду. Грани каж­дого из них соеди­нены пет­лями, кото­рые дают возмож­ность менять вели­чины дву­гран­ных углов. Но один пояс изги­ба­ется, а дру­гой — нет. В чём же их раз­ли­чие?

Пояса действи­тельно очень похожи один на дру­гой. Если при­став­лять один к другому, то видно, что размеры прямо­уголь­ни­ков в осно­ва­ниях немного раз­ли­чаются. Но почему же один изги­ба­ется, а дру­гой нет?

Изгибаемый и неизгибаемый пояса
Изгибаемый и неизгибаемый пояса

Под­сказ­кой явля­ется кон­струкция, пока­зы­вающая, из каких пирамид выре­заны пояса. Да, в изги­ба­емом слу­чае все рёбра сошлись в одну точку, а в неизги­ба­емом — нет. Но что это зна­чит для изги­ба­емо­сти?

Пирамиды

Объяс­не­нием явля­ется экс­пе­римент с бумаж­ным листом. Возьмите лист и загните два его угла, чтобы можно было сложить трёхгран­ный угол: линии сгиба должны выхо­дить из одной точки, а уго­лочки должны пере­кры­ваться — тогда точно сложится.

Трёхгранный угол неизгибаем
Трёхгранный угол неизгибаем
Трёхгранный угол неизгибаем

Трёхгран­ный угол, сложен­ный даже из листа бумаги, — неизги­ба­емая, жёст­кая кон­струкция. Но доба­вим на одной грани ребро, замяв по нему листо­чек. Четырёхгран­ный угол — кон­струкция изги­ба­емая. Это явля­ется след­ствием того факта, что тре­уголь­ник с фик­си­ро­ван­ными сто­ро­нами един­ствен­ный, а четырёх­уголь­ник, сде­лан­ный «на бол­тах», — изги­баем.

Четырёхгранный угол изгибаем
Четырёхгранный угол изгибаем

В одной из пирамид у нас есть трёхгран­ный угол, и эта пирамида ока­зы­ва­ется неизги­ба­емой. Пояса, выре­зан­ные из этих пирамид, «пом­нят» про это, пусть даже сам угол ока­зы­ва­ется отре­зан­ным. При­чём изги­ба­емым или неизги­ба­емым будет любой пояс, выре­зан­ный из соот­вет­ствующей пирамиды.

Геометрия неизгибаемости
Геометрия неизгибаемости

Слово «пирамида» было исполь­зо­вано в своём житейском зна­че­нии. Матема­ти­че­ской пирами­дой явля­лась только изги­ба­емая, у кото­рой боко­вые рёбра схо­дятся в одной точке. Говоря про изги­ба­емость пирамиды, мы имели в виду её боко­вую поверх­ность — без осно­ва­ния. Если закле­ить пирамиду осно­ва­нием, то и та, что имеет только четырёхгран­ный угол, тоже пере­ста­нет изги­баться. Изги­ба­емые многогран­ники бывают, но это уже другая тема.

Другие модели раздела «Многогранники»