Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Но это на евклидовой плоскости, а для треугольника на сфере сумма внутренних углов больше $180^\circ$. Разница между суммой углов и $180^\circ$ называется угловым дефектом. Увидеть сферический треугольник, посмотреть угловой дефект позволяет модель из трёх скреплённых кругов, сгибающихся по диаметрам.
В сферической геометрии треугольник ограничен дугами больших окружностей. В отличие от евклидовой геометрии сферический треугольник полностью определяется своими углами. Сделать модель сферического треугольника можно, соединив плоскости трёх кругов, согнутых по их диаметрам. В простейшем варианте для соединения можно использовать скрепки, а можно сделать соединение вокруг центрального шарика.
Углы раскрытия двух кругов и угол поворота диаметра одного круга относительно другого полностью определяют угол раскрытия и положение третьего круга. Образуются два сферических треугольника, симметричных относительно центра сферы.
Согнутые круги высекают на сфере двуугольники, соответствующие внешним углам сферического треугольника. Если собрать двуугольники так, чтобы их вершины совпадали, то видно, что остаётся кусочек сферы — сумма углов двуугольников «недотягивает» до полного угла в $360^\circ$.
Если сферический треугольник большой, то разница с полным углом тоже большая, если сферический треугольник маленький, то маленькая.
Если же говорить про сумму внутренних углов сферического треугольника, то она вычисляется как $540^\circ$ минус сумма внешних углов. Соответственно, если треугольник большой, то и сумма внутренних углов сильно отличается от $180^\circ$, если маленький, то не сильно.
Глядя на эту модель, можно понять, как площадь сферического треугольника выражается через его углы.
Площадь сферы равна $4\pi R^2$, а площадь двуугольника пропорциональна его углу и равна $2\phi R^2$ (при $\phi=2\pi$ двуугольник как раз превращается в сферу). Видно, что сфера разбита на два равных треугольника площади $S$ и три двуугольника: $$ 4\pi R^2=2S+2\cdot(\text{сумма внешних углов})\cdot R^2.$$ Обозначим $\delta=2\pi-(\text{сумма внешних углов})$ — то, насколько сумма внешних углов треугольника отличается от $2\pi$. Тогда $S=\delta R^2$.
Для сферического треугольника с внутренними углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (в радианах) внешние углы равны $\pi-\alpha$, $\pi-\beta$, $\pi-\gamma$, а значит, $$ \delta =2\pi-(\pi-\alpha)-(\pi-\beta)-(\pi-\gamma) =\alpha+\beta+\gamma-\pi, $$ т. е. $\delta$ — угловой дефект треугольника. Площадь сферического треугольника, таким образом, равна $$ S=\delta R^2=(\alpha+\beta+\gamma-\pi)R^2.$$
Другое доказательство этой формулы можно прочитать в сюжете Сферическая геометрия.
Литература
Сферическая геометрия // Математические этюды.
Другие модели раздела «Неевклидова геометрия»
