Стереографическая проекция

Сте­реографи­че­ская про­екция — это отоб­раже­ние сферы (с выко­ло­тым полю­сом) на плос­кость по сле­дующему закону. Для точки на сфере её образ на плос­ко­сти лежит на луче, соеди­няющем выко­ло­тый полюс сферы — центр про­екции — с точ­кой на сфере. Такое отоб­раже­ние вза­имно одно­знач­ное и «рабо­тает» в обе сто­роны.

Сте­реографи­че­ская про­екция сохра­няет углы между лини­ями, а любые окруж­но­сти на сфере пере­во­дит в окруж­но­сти на плос­ко­сти. Точ­нее: окруж­но­сти, не про­хо­дящие через центр про­екции, пере­хо­дят в окруж­но­сти на плос­ко­сти, а про­хо­дящие через него (не только мери­ди­аны!) — в прямые.

Стереографическая проекция
Стереографическая проекция
Стереографическая проекция

Ещё одно свойство: симмет­рич­ные на сфере отно­си­тельно эква­тора кри­вые пере­хо­дят на плос­ко­сти в инверс­ные друг другу отно­си­тельно про­екция эква­тора.

Реа­ли­зо­вать сте­реографи­че­скую про­екцию можно поме­стив в полюс сферы небольшой (точеч­ный) источ­ник света.

Стереографическая проекция
Стереографическая проекция
Стереографическая проекция

Кра­си­вая модель: полоски на сфере, являющи­еся (про)обра­зом квад­рат­ной сетки на плос­ко­сти. Изго­то­вить её можно наклеив полоски на про­зрач­ную сферу или, что более кра­сиво, напе­ча­тав соот­вет­ствующую модель на 3D-прин­тере.

Лите­ра­тура

Segerman Henry. Visualizing Mathematics with 3D Printing. — [www.segerman.org]

Розенфельд Б. А., Серге­ева Н. Д. Сте­реографи­че­ская про­екция. — М.: Наука, 1973. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 53).

Мар­ку­ше­вич А. И. Комплекс­ные числа и конформ­ные отоб­раже­ния. — 2‐е изд. — М.: ГИФМЛ, 1960. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 13). — [Стр. 29—31].

Пра­со­лов В. В. Задачи по сте­реомет­рии. — М.: МЦНМО, 2016. — [Гл. 20 «Инвер­сия и сте­реографи­че­ская про­екция»].

Кар­тографи­че­ские про­екции // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 136—145, 342, 343.

Другие модели раздела «Геометрические преобразования»