Три равновеликие пирамиды

Можно ли куб раз­ре­зать на три рав­ные пирамиды? Можно, но сходу — неоче­видно как. А вот модель из трёх оди­на­ко­вых пирамид, из кото­рых состав­ля­ется куб, хоть и про­стая, но полез­ная. В част­но­сти, иллю­стри­рует тот факт, что объём пирамиды равен трети объёма призмы.

Куб делится на три оди­на­ко­вые пирамиды с общей верши­ной: осно­ва­ния пирамид — три грани куба, не содержащие эту вершину; рёбра — отрезки, про­ве­дён­ные из общей вершины в вершины гра­ней. Пирамиды полу­чаются четырёх­уголь­ные, у каж­дой есть ребро, перпен­ди­ку­ляр­ное осно­ва­нию. Диаго­наль куба — общее ребро всех трёх пирамид.

Разбиение куба на три равные пирамиды
Разбиение куба на три равные пирамиды
Разбиение куба на три равные пирамиды

На это раз­би­е­ние можно смот­реть и с алгеб­ра­и­че­ской точки зре­ния.

Нач­нём с плос­кого слу­чая: не с куба, а с квад­рата. На плос­ко­сти $Oxy$ квад­рат с верши­ной в начале коор­ди­нат есте­ствен­ным обра­зом зада­ётся нера­вен­ствами $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 1$. Диаго­наль $x=y$ делит квад­рат на две рав­ные части: в одной части $x\geqslant y$, в дру­гой $y\geqslant x$. Другими сло­вами: одна поло­вина состоит из точек $(x,y)$, у кото­рых мак­симальна коор­ди­ната $x$, другая — из точек, у кото­рых мак­симальна коор­ди­ната $y$.

Разбиение куба на три равные пирамиды: алгебраический взгляд
Разбиение куба на три равные пирамиды: алгебраический взгляд
Разбиение куба на три равные пирамиды: алгебраический взгляд

Вер­нёмся к кубу. Его можно задать нера­вен­ствами $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 1$, $0\leqslant z\leqslant 1$. На квад­рат­ных гра­нях $x=0$, $y=0$, $z=0$ воз­ни­кает раз­би­е­ние на две части, опи­сан­ное выше.

Разбиение куба на три равные пирамиды: алгебраический взгляд
Разбиение куба на три равные пирамиды: алгебраический взгляд
Разбиение куба на три равные пирамиды: алгебраический взгляд

Три пирамиды, на кото­рые геомет­ри­че­ски раз­бит куб, соот­вет­ствуют обла­стям, где мак­симальна одна из коор­ди­нат, $x$, $y$ или $z$. Посмот­рим на область, где мак­симальна коор­ди­ната $z$. В сече­нии $z=c$ этому усло­вию отве­чает квад­рат $0\leqslant x\leqslant c$, $0\leqslant y\leqslant c$. Из таких сече­ний при раз­ных $c$ обра­зу­ется пирамида с квад­рат­ным осно­ва­нием и верши­ной в точке $(0,0,0)$. Две другие пирамиды полу­чаются из рас­смот­рен­ной пере­ста­нов­кой коор­ди­нат, т. е. пово­ро­том трёхмер­ного про­стран­ства вокруг диаго­нали куба $x=y=z$. При пово­роте вокруг диаго­нали на $120^\circ$ куб пере­хо­дит в себя, а пирамиды — друг в друга.

Такое симмет­рич­ное зада­ние ещё раз гово­рит о том, что полу­чающи­еся пирамиды оди­на­ковы, равны.

Разбиение куба на три равные пирамиды
Разбиение куба на три равные пирамиды

Вытя­нем куб по одной из коор­ди­нат. Теперь уже пирамиды ста­но­вятся не все рав­ными, но при этом про­должают иметь оди­на­ко­вый объём, т. е. остаются рав­но­ве­ли­кими.

Разбиение прямоугольного параллелепипеда на три равновеликие пирамиды
Разбиение прямоугольного параллелепипеда на три равновеликие пирамиды
Разбиение прямоугольного параллелепипеда на три равновеликие пирамиды

Вытя­нем куб ещё по одному направ­ле­нию — полу­чится прямо­уголь­ный парал­ле­лепипед со всеми тремя не рав­ными изме­ре­ни­ями. Все три пирамиды уже не равны, но по-преж­нему рав­но­ве­лики.

Разбиение прямоугольного параллелепипеда на три равновеликие пирамиды
Разбиение прямоугольного параллелепипеда на три равновеликие пирамиды
Разбиение прямоугольного параллелепипеда на три равновеликие пирамиды

Про­де­мон­стри­руем рав­но­ве­ли­кость пирамид на этом слу­чае. Рас­смот­рим пирамиду, состо­ящую из при­легающих друг к другу поло­ви­нок синей и зелё­ной пирамид. Их объеди­не­ние — пирамида с прямо­уголь­ным осно­ва­нием. Осно­ва­ние и любое сече­ние, парал­лель­ное осно­ва­нию, делится общей гра­нью пирамид — диаго­на­лью — на две рав­ные части. Зна­чит, и объёмы их равны. Заме­тим ещё, что рас­смат­ри­ва­емая пирамида симмет­рична фио­ле­то­вой пирамиде.

Равновеликость: равенство объёмов
Равновеликость: равенство объёмов
Равновеликость: равенство объёмов

Ско­сим парал­ле­лепипед. И в этом слу­чае можно дока­зать, что все три пирамиды будут иметь оди­на­ко­вый объём.

Разбиение параллелепипеда на три равновеликие пирамиды
Разбиение параллелепипеда на три равновеликие пирамиды
Разбиение параллелепипеда на три равновеликие пирамиды

В заклю­че­ние напом­ним, что модель из трёх оди­на­ко­вых пирами­док, из кото­рых можно собрать куб, — полезна в каби­не­тах матема­тики.

Другие модели раздела «Многогранники»