Объём тора⁠

Тор — это поверх­ность, обра­зо­ван­ная враще­нием окруж­но­сти ради­уса $r$ вокруг оси, лежащей в плос­ко­сти этой окруж­но­сти и уда­лён­ной от её цен­тра на рас­сто­я­ние $R$. По-про­стому — поверх­ность буб­лика. Счи­тая, что $R \gt r$, как вычис­лить объём пол­но­то­рия — тела, огра­ни­чен­ного тором?

Пом­ните меха­ни­че­скую голо­во­ломку «змейка Рубика», при­думан­ную авто­ром кубика и очень попу­ляр­ную в своё время? Голо­во­ломка состо­яла из 24 шар­нирно соеди­нён­ных между собой тре­уголь­ных призм. Сде­лаем «змейку» из тора — разо­бьём тор на оди­на­ко­вые сек­торы. Повер­нув после­до­ва­тельно сек­торы на 180 гра­ду­сов, полу­чим «почти цилиндр». В осно­ва­нии полу­чившегося тела лежит круг ради­у­сом $r$, т. е. площа­дью $\pi r^2$. А высота «цилин­дра» при­мерно равна длине сред­ней окруж­но­сти тора, т. е. $2\pi R$. Чем больше коли­че­ство сек­то­ров, тем ближе полу­чающе­еся тело к цилин­дру. Окон­ча­тель­ная формула для объёма тора: про­из­ве­де­ние площади осно­ва­ния цилин­дра на длину его высоты — $2\pi^2 R r^2$.

Геомет­ри­че­ский спо­соб вычис­ле­ния объёма тора осно­ван на ⁠⁠принципе Кава­льери. Для любой «гори­зон­таль­ной» плос­ко­сти площадь сече­ния тора равна площади сече­ния цилин­дра с ради­у­сом осно­ва­ния $r$ и высо­той $2\pi R$.

Ну а по науке надо при­ме­нять интегралы или тео­ремы Паппа—Гуль­дина о площади поверх­но­сти враще­ния и объёме тела враще­ния.