Взвешивание цилиндра и шара

Когда я был кве­сто­ром, я отыс­кал в Сира­ку­зах его <Архимеда> могилу, со всех сто­рон заросшую тер­нов­ни­ком, словно изго­ро­дью, потому что сира­ку­зяне совсем забыли о ней, словно ее и нет. Я знал несколько стиш­ков, сочи­нен­ных для его надгроб­ного памят­ника, где упоми­на­ется, что на вершине его постав­лены шар и цилиндр. И вот, осмат­ри­вая мест­ность близ Акрагант­ских ворот, где очень много гроб­ниц и могил, я при­ме­тил маленькую колонну, чуть–чуть воз­вышавшуюся из заро­с­лей, на кото­рой были очер­та­ния шара и цилин­дра. Тот­час я ска­зал сира­ку­зя­нам — со мной были пер­вейшие граж­дане города, — что этого–то, видимо, я и ищу. Они послали коса­рей и рас­чи­стили место. Когда доступ к нему открылся, мы подошли к осно­ва­нию памят­ника. Там была и надпись, но концы её стро­чек стёр­лись от времени почти напо­ло­вину. Вот до какой степени слав­нейший, а некогда и учё­нейший гре­че­ский город поза­был памят­ник умнейшему из своих граж­дан: пона­до­бился чело­век из Арпина, чтобы напом­нить о нём.

Цице­рон о могиле Архимеда в сочи­не­нии «Туску­лан­ские беседы». Пере­вод М. Гаспа­рова.

(Цит. по: Цице­рон Марк Тул­лий. Избран­ные сочи­не­ния. Пер. с латин. — М. : Худ. лит., 1975. — С. 342)

Шар и цилиндр. Радиус осно­ва­ния цилин­дра равен ради­усу шара, а высота цилин­дра равна диаметру шара. При таких разме­рах в цилиндр можно впи­сать шар.

Как отно­сятся объёмы цилин­дра и шара: как нужно рас­по­ложить тела на рычаж­ных весах, чтобы они при­шли в рав­но­ве­сие?

Можно убе­диться, что отноше­ние плеч (плечо — это рас­сто­я­ние от точки опоры весов до точки, где рас­по­ложен взвеши­ва­емый пред­мет) при рав­но­ве­сии будет равно $2:3$. Зна­чит объём шара равен двум тре­тям от объёма цилин­дра. Инте­ресно, что в том же отноше­нии нахо­дятся и площади их поверх­но­стей.

Счи­та­ется, что Архимед из своих открытий больше всего ценил именно то, что нашёл соот­ноше­ние между объёмом шара и объёмом опи­сан­ного вокруг него цилин­дра, тем самым вычис­лив объём шара.

Из этого соот­ноше­ния можно выве­сти формулу для объёма шара.

Восполь­зу­емся форму­лой для объёма цилин­дра: про­из­ве­де­ние площади осно­ва­ния на длину высоты. В нашем слу­чае площадь осно­ва­ния равна $\pi \cdot R^2$, а высота цилин­дра равна $2 \cdot R$, где $R$ — радиус шара. Зна­чит объём цилин­дра равен: $(\pi \cdot R^2) \cdot (2 \cdot R) = 2 \cdot \pi \cdot R^2$.

Умножая на коэффици­ент $2/3$, полу­чим формулу для объёма шара: $4/3 \cdot π \cdot R^3$.

В модели стоит преду­смот­реть возмож­ность деле­ния цилин­дра на две рав­ные по высоте части. Если урав­но­веши­вать на рычаж­ных весах шар с цилин­дром, имеющим высоту, рав­ную ради­усу шара, то соот­ноше­ние плеч будет равно как раз $4:3$.

Другие модели раздела «Объёмы»