Рычажные весы позволяют вычислить соотношение между объёмами пирамиды и призмы, конуса и цилиндра, шара и цилиндра.
Основное свойство рычажных весов известно с детства и интуитивно ясно: чтобы тяжёлое тело уравновесить лёгким, нужно лёгкое тело ставить дальше от точки опоры. Количественно это свойство выражается в том, что в положении равновесия отношения масс тел (а, следовательно, и объёмов, если тела имеют одинаковую плотность) равно обратному отношению расстояний от точки опоры до взвешиваемых тел.
Чтобы уравновесить пирамиду и призму одинаковой высоты в основании которых лежат произвольные равные многоугольники, пирамиду нужно поместить в три раза дальше, чем призму. Значит объём пирамиды равен одной трети объёма призмы с тем же основанием и высотой.
Цилиндр и конус с одинаковыми основаниями и равными высотами, можно представлять как предел призмы и пирамиды соответственно. Значит объём конуса равен одной трети объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.
Шар и цилиндр. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра равна диаметру шара. При таких размерах в цилиндр можно вписать шар.
Как относятся объёмы цилиндра и шара: как нужно расположить тела на рычажных весах, чтобы они пришли в равновесие?
Можно убедиться, что отношение плеч (плечо — это расстояние от точки опоры весов до точки, где расположен взвешиваемый предмет) при равновесии будет равно $2:3$. Значит объём шара равен двум третям от объёма цилиндра. Интересно, что в том же отношении находятся и площади их поверхностей.
Считается, что Архимед из своих открытий больше всего ценил именно то, что нашёл соотношение между объёмом шара и объёмом описанного вокруг него цилиндра, тем самым вычислив объём шара.
Из этого соотношения можно вывести формулу для объёма шара.
Воспользуемся формулой для объёма цилиндра: произведение площади основания на длину высоты. В нашем случае площадь основания равна $\pi \cdot R^2$, а высота цилиндра равна $2 \cdot R$, где $R$ — радиус шара. Значит объём цилиндра равен: $(\pi \cdot R^2) \cdot (2 \cdot R) = 2 \cdot \pi \cdot R^2$.
Умножая на коэффициент $2/3$, получим формулу для объёма шара: $4/3 \cdot π \cdot R^3$.
В модели стоит предусмотреть возможность деления цилиндра на две равные по высоте части. Если уравновешивать на рычажных весах шар с цилиндром, имеющим высоту, равную радиусу шара, то соотношение плеч будет равно как раз $4:3$.
Когда я был квестором, я отыскал в Сиракузах его <Архимеда> могилу, со всех сторон заросшую терновником, словно изгородью, потому что сиракузяне совсем забыли о ней, словно ее и нет. Я знал несколько стишков, сочиненных для его надгробного памятника, где упоминается, что на вершине его поставлены шар и цилиндр. И вот, осматривая местность близ Акрагантских ворот, где очень много гробниц и могил, я приметил маленькую колонну, чуть–чуть возвышавшуюся из зарослей, на которой были очертания шара и цилиндра. Тотчас я сказал сиракузянам — со мной были первейшие граждане города, — что этого–то, видимо, я и ищу. Они послали косарей и расчистили место. Когда доступ к нему открылся, мы подошли к основанию памятника. Там была и надпись, но концы её строчек стёрлись от времени почти наполовину. Вот до какой степени славнейший, а некогда и учёнейший греческий город позабыл памятник умнейшему из своих граждан: понадобился человек из Арпина, чтобы напомнить о нём.
Цицерон о могиле Архимеда в сочинении «Тускуланские беседы». Перевод М. Гаспарова.
(Цит. по: Цицерон Марк Туллий. Избранные сочинения. Пер. с латин. — М. : Худ. лит., 1975. — Стр. 342)
Другие модели раздела «Объёмы»
