Трисекция угла

Задача о три­секции угла состоит в том, чтобы раз­де­лить дан­ный угол на три рав­ные части.

Вме­сте с ещё двумя клас­си­че­скими зада­чами на постро­е­ние — удво­е­нием куба и квад­ра­ту­рой круга — задача о три­секции угла при­шла из Древ­ней Греции и на про­тяже­нии многих сто­ле­тий занимала умы людей. Неод­но­кратно пыта­лись решить эти три задачи с помощью освящён­ных евкли­до­вой геомет­рией инструмен­тов — цир­куля и линейки. Между тем, уже в древ­но­сти матема­тики дога­да­лись, что при исполь­зо­ва­нии только цир­куля и линейки эти задачи нераз­решимы, а позд­нее это было и дока­зано. Попытки расши­рить инструмен­та­рий ока­зали большое вли­я­ние на древ­негре­че­скую матема­тику, при­вели и к пер­вым иссле­до­ва­ниям кони­че­ских сече­ний, и к иссле­до­ва­нию слож­ных кри­вых, и к постро­е­нию инте­рес­ных инструмен­тов.

Рас­смот­рим шар­нир­ный меха­низм, являющийся парал­ле­лограммом с двумя закреп­лён­ными шар­ни­рами. Из курса школь­ной матема­тики вы пом­ните, что про­ти­вопо­лож­ные углы парал­ле­лограмма равны. Это верно для любого парал­ле­лограмма, а зна­чит, и для любого изги­ба­ния нашего меха­низма.

А для любого ли изги­ба­ния?

У нашей системы есть одна осо­бая «точка» — когда все зве­нья ложатся на одну прямую. Из этой точки бифур­кации меха­низм может выйти, снова став парал­ле­лограммом, а может перейти в фигуру, кото­рая назы­ва­ется антипа­рал­ле­лограмм.

Альфред Брей Кемпе 1849—1922

Альфред Брей Кемпе (Alfred Bray Kempe) — англи­ча­нин, адво­кат по про­фес­сии, матема­тик по при­зва­нию. В 1879 году пуб­ли­кует реше­ние про­блемы четырёх кра­сок. Коро­лев­ское матема­ти­че­ское обще­ство тот­час же изби­рает его своим чле­ном, позд­нее он воз­ве­дён в рыцар­ское зва­ние за вклад в раз­ви­тие матема­тики. В «дока­за­тельство» Кемпе верили 11 лет. Но в 1890 году Перси Хивуд пуб­ли­кует работу, потрясшую матема­ти­че­ский мир: он ука­зал принци­пи­аль­ную ошибку в рас­суж­де­ниях Кемпе. Однако неко­то­рые идеи его «дока­за­тельства» были пра­виль­ные и через век были исполь­зо­ваны в компью­тер­ном дока­за­тельстве про­блемы.

Именно в этой осо­бен­но­сти рас­смат­ри­ва­емого шар­нир­ного меха­низма и заклю­ча­лась ошибка в рас­суж­де­ниях Альфреда Кемпе, «дока­завшего» в 1876 году тео­рему о том, что суще­ствует шар­нир­ный меха­низм, кото­рый умеет под­де­лы­вать вашу подпись и ничего кроме неё рисо­вать не умеет. Более точно — что любая огра­ни­чен­ная часть плос­кой алгеб­ра­и­че­ской кри­вой явля­ется тра­ек­то­рией шар­нира неко­то­рого плос­кого шар­нир­ного меха­низма. Сама тео­рема верна, однако ошибку в дока­за­тельстве Кемпе нашли лишь в 1984 году и испра­вили только к концу XX века.

От парал­ле­лограмма антипа­рал­ле­лограмм уна­сле­до­вал то, что две про­ти­вопо­лож­ные сто­роны равны между собой, и две накрест лежащие сто­роны также равны между собой. Ока­зы­ва­ется, у нашей фигуры есть и соот­ноше­ние на углы — у антипа­рал­ле­лограмма они попарно равны!

При­ба­вим к нашему антипа­рал­ле­лограмму более маленький, но подоб­ный пер­вому. У них есть один общий угол, а зна­чит, углы при крас­ном шар­нире тоже равны.

Вытяги­вая направ­ляющие прямые, полу­чаем плос­кий шар­нир­ный меха­низм, кото­рый можно при­ме­нять для постро­е­ния бис­сек­трисы любого угла.

Можно при­ба­вить ещё один подоб­ный антипа­рал­ле­лограмм. По тем же сооб­раже­ниям его угол при крас­ном шар­нире будет равен уже двум имеющимся.

Полу­чившийся плос­кий шар­нир­ный меха­низм явля­ется три­сек­то­ром углов — решает задачу о деле­нии про­из­воль­ного угла на три рав­ные части!

На этом Кемпе оста­нав­ли­ва­ется, так как для его «дока­за­тельства» тео­ремы «о подписи» нужен был меха­низм, делящий угол именно на три части. Однако, оче­видно, исполь­зо­ван­ный алго­ритм постро­е­ния можно про­должать и дальше, полу­чая шар­нир­ные меха­низмы, точно делящие про­из­воль­ный угол на любое напе­рёд задан­ное число частей.

Лите­ра­тура

Kempe Alfred Bray. How to draw a straight line: a lecture on linkages. — Macmillan & Co., 1877.

Demaine Erik D., O'Rourke Joseph. Geometric folding algorithms: linkages, origami, polyhedra. — Cambridge Univ. Press, 2007. — P. 31—33.

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»