Объём шара ⁠

Если «про­жигать» CD– или DVD–диск на компью­тере, то запи­сан­ная часть «бол­ванки» выгля­дит более тем­ной, чем неисполь­зо­ван­ная.

Чего больше на диске, изоб­ражен­ном на кар­тинке в начале фильма, — запи­сан­ной информации или сво­бод­ного места?

С точки зре­ния матема­тики, и CD-, и DVD–диск — это кольцо. Радиус внут­рен­ней окруж­но­сти, огра­ни­чи­вающей круг, на кото­рый ничего не пишется, равен 2 сан­тимет­рам, а радиус всего стан­дарт­ного диска — 6 сан­тимет­рам. Информация запи­сы­ва­ется по спи­раль­ной дорожке, разма­ты­вающейся от меньшей окруж­но­сти к большей. Так как оди­на­ко­вому коли­че­ству информации соот­вет­ствует оди­на­ко­вая длина дорожки, то объём информации, запи­сан­ной на «бол­ванку», про­порци­о­на­лен площади заня­того кольца.

Нач­нём «про­жигать» диск так же, как это делает компью­тер. Если ширина запи­сан­ного кольца будет равна ширине неза­пи­сан­ного и состав­лять по 2 сан­тиметра, то видно, насколько площадь исполь­зо­ван­ной части меньше сво­бод­ной. При этом, даже если к площади запи­сан­ного кольца доба­вить площадь всего внут­рен­него круга, на кото­рый ничего не пишется, то их суммар­ная площадь всё равно будет меньше площади неза­пи­сан­ной части «бол­ванки».

Для того чтобы была занята ровно поло­вина «бол­ванки», внут­рен­нее кольцо должно иметь ширину, при­бли­зи­тельно рав­ную 2,5 см, а внеш­нее кольцо — около 1,5 см.

Отчего же воз­ни­кает такой эффект?

На плос­ко­сти шаром явля­ется круг и, соот­вет­ственно, объём есть площадь этого круга. Как вы все хорошо зна­ете, площадь круга ради­уса $R$ равна $\pi R^2$. Чтобы посчи­тать площадь кольца, нужно из площади большого круга вычесть площадь неисполь­зу­емого маленького — $\pi\cdot(R^2-r^2)$. И так как всё зави­сит от ради­уса, да ещё в квад­рате, то, чем ближе к большему ради­усу опи­сано кольцо, тем больше, при той же ширине, его вклад в площадь.

В нашем трёхмер­ном про­стран­стве объём шара зави­сит от ради­уса, воз­ве­дён­ного в тре­тью степень. А зна­чит, и рас­смат­ри­ва­емый эффект ста­но­вится ещё более выражен­ным: бóльшая часть объёма шара сосре­до­то­чена рядом с гра­ницей!

Чего больше по объёму в этом апель­сине — кожуры или мякоти? Кожура занимает, каза­лось бы, не очень тол­стый слой, но он рас­по­ложен рядом с гра­ницей шара. И его объём на при­ве­дён­ном рисунке равен объёму всей вкус­ной части апель­сина. Покупая апель­син с тол­стой кожу­рой, по объёму вы при­об­ре­та­ете в основ­ном кожуру.