Непрерывность

На доске отме­чены две точки по раз­ные сто­роны от прямой: одна ниже, а другая выше прямой.

Соеди­ним их  непре­рыв­ной линией (не отры­вая мела от доски). Тогда в какой-то точке (быть может, не одной) наша линия  пере­се­чёт прямую.

Ну и что тут такого? Каза­лось бы, совершенно оче­вид­ный и даже дет­ский факт, чем он может быть поле­зен матема­тике? Однако, несмотря на кажущуюся оче­вид­ность, это утвер­жде­ние явля­ется тео­ремой Больца­но—­Коши и тре­бует дока­за­тельства.

При­во­дить дока­за­тельство не будем, а лишь заме­тим, что все усло­вия этой тео­ремы важны. Если бы линия не была непре­рывна (раз­реша­лось бы отры­вать мел от доски), то, конечно, можно было бы пере­ско­чить снизу вверх, не пере­се­кая прямую. Если бы рас­смат­ри­ва­лось не пере­се­че­ние с прямой (множе­ством всех действи­тель­ных чисел), а, напри­мер, пере­се­че­ние с множе­ством только раци­о­наль­ных чисел, то опять же — пере­се­че­ния могло бы и не быть.

Самое уди­ви­тель­ное, что это, каза­лось бы, дет­ское наблю­де­ние явля­ется очень мощ­ным сред­ством, исполь­зу­емым в дока­за­тельстве неко­то­рых матема­ти­че­ских утвер­жде­ний. Его недо­ста­ток — некон­струк­тив­ность: линия где-то обя­за­тельно пере­се­чет прямую, но в какой именно точке — ска­зать невозможно.

При­меры исполь­зо­ва­ния тео­ремы Больца­но—­Коши будут пред­став­лены в фильмах раз­дела «Непре­рыв­ность».

Другие этюды раздела «Непрерывность»