Циклоида

Пом­ните оран­же­вые пластмас­со­вые ката­фоты — све­то­от­ража­тели, при­креп­ляющи­еся к спи­цам вело­сипед­ного колеса? При­крепим ката­фот к самому ободу колеса и  про­сле­дим за его тра­ек­то­рией. Полу­чен­ные кри­вые при­над­лежат семейству цик­лоид.

Колесо при этом назы­ва­ется про­из­во­дящим кругом (или окруж­но­стью) цик­ло­иды.

Но давайте вер­нёмся в наш век и пере­ся­дем на более современ­ную тех­нику. На пути байка попался каму­шек, кото­рый  застрял в про­тек­торе колеса. Про­вер­нувшись несколько кругов с коле­сом, куда поле­тит камень, когда выско­чит из про­тек­тора? Про­тив направ­ле­ния движе­ния мотоцикла  или по направ­ле­нию?

Как известно, сво­бод­ное движе­ние тела начи­на­ется по каса­тель­ной к той тра­ек­то­рии, по кото­рой оно двига­лось. Каса­тель­ная к цик­ло­иде все­гда направ­лена по направ­ле­нию движе­ния и  про­хо­дит через верх­нюю точку про­из­во­дящей окруж­но­сти. По направ­ле­нию движе­ния поле­тит и наш каму­шек.

Пом­ните, как Вы ката­лись в дет­стве по лужам на вело­сипеде без зад­него крыла? Мок­рая полоска на вашей спине явля­ется житейским под­твер­жде­нием только что полу­чен­ного результата.

Век XVII — это век цик­ло­иды. Лучшие учё­ные изу­чали её уди­ви­тель­ные свойства.

Какая тра­ек­то­рия при­ве­дёт тело, движуще­еся под действием силы тяже­сти, из одной точки в другую за  крат­чайшее время? Это была одна из пер­вых задач той науки, кото­рая сей­час носит назва­ние вари­аци­он­ное исчис­ле­ние.

Мини­ми­зи­ро­вать (или мак­си­ми­зи­ро­вать) можно раз­ные вещи — длину пути, ско­рость, время. В задаче о бра­хи­сто­хроне мини­ми­зи­ру­ется именно время (что под­чёр­ки­ва­ется самим назва­нием: греч. βράχιστος — наименьший, χρόνος — время).

Пер­вое, что при­хо­дит на ум, — это  прямо­ли­ней­ная тра­ек­то­рия. Давайте также рас­смот­рим  пере­вёр­ну­тую цик­ло­иду с точ­кой воз­врата в верх­ней из задан­ных точек. И, сле­дуя за Гали­лео Гали­леем, —  чет­вер­тинку окруж­но­сти, соеди­няющую наши точки.

Сде­лаем  боб­слей­ные трассы с рас­смот­рен­ными профи­лями и про­сле­дим, какой из бобов при­е­дет пер­вым.

Исто­рия боб­слея берёт своё начало в Швейца­рии. В 1924 году во фран­цуз­ском городе Шамони про­хо­дят пер­вые зим­ние Олимпийские игры. На них уже про­во­дятся сорев­но­ва­ния по боб­слею для экипажей двоек и чет­вё­рок. Един­ствен­ный год, когда на Олимпийских играх экипаж боба состоял из пяти чело­век, был 1928. С тех пор в боб­слее все­гда сорев­нуются муж­ские экипажи двойки и чет­вёрки. В пра­ви­лах боб­слея много инте­рес­ного. Конечно же, суще­ствует огра­ни­че­ния на вес боба и команды, но суще­ствуют даже огра­ни­че­ния на мате­ри­алы, кото­рые можно исполь­зо­вать в конь­ках боба (перед­няя пара их подвижна и свя­зана с рулём, зад­няя закреп­лена жёстко). Напри­мер, радий не может исполь­зо­ваться при изго­тов­ле­нии конь­ков.

Дадим старт нашим чет­вёр­кам. Какой же боб пер­вым при­е­дет к финишу? Боб зелё­ного цвета, выступающий за команду Матема­ти­че­ских этю­дов и катившийся по цик­ло­и­даль­ной горке,  при­хо­дит пер­вым!

Почему же Гали­лео Гали­лей рас­смат­ри­вал чет­вер­тинку окруж­но­сти и счи­тал, что это наи­лучшая в смысле времени тра­ек­то­рия спуска? Он впи­сы­вал в неё лома­ные и заме­тил, что при уве­ли­че­нии числа зве­ньев время спуска уменьша­ется. Отсюда Гали­лей есте­ствен­ным обра­зом перешёл к окруж­но­сти, но сде­лал невер­ный вывод, что эта тра­ек­то­рия наи­лучшая среди всех возмож­ных. Как мы видели, наи­лучшей тра­ек­то­рией явля­ется цик­ло­ида.

Через две дан­ные точки можно про­ве­сти  един­ствен­ную цик­ло­иду с усло­вием, что в верх­ней точке нахо­дится точка воз­врата цик­ло­иды. И даже когда цик­ло­иде при­хо­дится под­ниматься, чтобы пройти через вто­рую точку, она всё равно будет  кри­вой наи­ско­рейшего спуска!

Ещё одна кра­си­вая задача, свя­зан­ная с цик­ло­и­дой, — задача о тау­то­хроне. В пере­воде с гре­че­ского ταύτίς озна­чает «тот же самый», χρόνος, как мы уже знаем — «время».

Сде­лаем три оди­на­ко­вые горки с профи­лем в виде цик­ло­иды, так, чтобы концы горок совпа­дали и рас­по­лага­лись в  вершине цик­ло­иды. Поста­вим три боба на  раз­ные высоты и дадим отмашку. Уди­ви­тель­нейший факт — все бобы  при­едут вниз одно­временно!

Зимой Вы можете постро­ить во дворе горку изо льда и про­ве­рить это свойство вжи­вую.

Задача о тау­то­хроне состоит в нахож­де­нии такой кри­вой, что, начи­ная с любого началь­ного положе­ния, время спуска в задан­ную точку будет оди­на­ко­вым.

Хри­стиан Гюйгенс дока­зал, что един­ствен­ной тау­то­хро­ной явля­ется цик­ло­ида.

Конечно же, Гюйгенса не инте­ре­со­вал спуск по ледя­ным гор­кам. В то время учё­ные не имели такой рос­коши заниматься нау­ками из любви к искус­ству. Задачи, кото­рые изу­ча­лись, исхо­дили из жизни и запро­сов тех­ники того времени. В XVII веке совершаются уже даль­ние мор­ские пла­ва­ния. Широту моряки умели опре­де­лять уже доста­точно точно, но уди­ви­тельно, что долготу не умели опре­де­лять совсем. И один из пред­лагавшихся спо­со­бов изме­ре­ния широты был осно­ван на нали­чии точ­ных хро­номет­ров.

Пер­вым, кто задумал делать маят­ни­ко­вые часы, кото­рые были бы точны, был Гали­лео Гали­лей. Однако в тот момент, когда он начи­нает их реа­ли­зо­вы­вать, он уже стар, он слеп, и за оставшийся год своей жизни учё­ный не успе­вает сде­лать часы. Он завещает это сыну, однако тот мед­лит и начи­нает заниматься маят­ни­ком тоже лишь перед смер­тью и не успе­вает реа­ли­зо­вать замы­сел. Сле­дующей зна­ко­вой фигу­рой был Хри­стиан Гюйгенс.

Он заме­тил, что период коле­ба­ния обыч­ного маят­ника, рас­смат­ри­вавшегося Гали­леем, зави­сит от изна­чаль­ного положе­ния, т.е. от ампли­туды. Задумавшись о том, какова должна быть тра­ек­то­рия движе­ния груза, чтобы время каче­ния по ней не зави­село от ампли­туды, он решает задачу о тау­то­хроне. Но как заста­вить груз двигаться по  цик­ло­иде? Пере­водя тео­ре­ти­че­ские иссле­до­ва­ния в прак­ти­че­скую плос­кость, Гюйгенс делает «щёчки», на кото­рые нама­ты­ва­ется веревка маят­ника, и решает ещё несколько матема­ти­че­ских задач. Он дока­зы­вает, что  «щёчки» должны иметь профиль той же самой цик­ло­иды, тем самым пока­зы­вая, что эво­лю­той цик­ло­иды явля­ется цик­ло­ида с теми же парамет­рами.

Кроме того, пред­ложен­ная Гюйген­сом кон­струкция  цик­ло­и­даль­ного маят­ника поз­во­ляет посчи­тать длину цик­ло­иды. Если синюю ниточку, длина кото­рой равна четырём ради­у­сам про­из­во­дящего круга, мак­симально откло­нить, то её конец будет в точке пере­се­че­ния «щёчки» и цик­ло­иды-тра­ек­то­рии, т.е. в вершине цик­ло­иды-«щёчки». Так как это поло­вина длины арки цик­ло­иды, то пол­ная длина равна восьми ради­у­сам про­из­во­дящего круга.

Хри­стиан Гюйгенс сде­лал цик­ло­и­даль­ный маят­ник, и часы с ним про­хо­дили испыта­ния в мор­ских путеше­ствиях, но не при­жи­лись. Впро­чем, так же, как и часы с обыч­ным маят­ни­ком для этих целей.

Отчего же, однако, до сих пор суще­ствуют часо­вые меха­низмы с обык­но­вен­ным маят­ни­ком? Если при­гля­деться, то при малых откло­не­ниях, как у крас­ного маят­ника, «щёчки» цик­ло­и­даль­ного маят­ника почти не ока­зы­вают вли­я­ния. Соот­вет­ственно, движе­ние по цик­ло­иде и по окруж­но­сти при малых откло­не­ниях почти совпа­дают.

Лите­ра­тура

Берман Г. Н. Цик­ло­ида. — М. : Наука, 1980.

Гин­ди­кин С. Г. Рас­сказы о физи­ках и матема­ти­ках. — М. : МЦНМО, 2006.

Другие этюды раздела «Замечательные кривые»