Степени свободы

Число степе­ней сво­боды — это коли­че­ство неза­ви­симых парамет­ров, одно­значно опре­де­ляющих положе­ние меха­ни­че­ской системы.

Рас­смот­рим плос­кий шар­нир­ный меха­низм, состо­ящий из двух оди­на­ко­вых парал­ле­лограммов, имеющих два общих закреп­лён­ных крас­ных шар­нира. Число степе­ней сво­боды такого меха­низма, конечно, равно двум, так как парал­ле­лограммы могут вращаться неза­ви­симо друг от друга, и в каче­стве парамет­ров можно, напри­мер, выбрать углы пово­рота парал­ле­лограммов, отсчи­ты­ва­емые от гори­зон­тали.

Все­гда ли за кон­крет­ным меха­низмом «закреп­лено» опре­де­лён­ное неизмен­ное число степе­ней сво­боды? Или же бывают меха­низмы, у кото­рых число степе­ней сво­боды переменно? Ока­зы­ва­ется, бывают…

Пер­вый плос­кий шар­нир­ный меха­низм с перемен­ным чис­лом степе­ней сво­боды был при­думан В. Вун­дер­ли­хом в 1954 году. Он состоял из двух закреп­лён­ных шар­ни­ров и 12 зве­ньев. Мы же рас­смот­рим более про­стой меха­низм с девя­тью зве­ньями, при­думан­ный рос­сийским матема­ти­ком Миха­и­лом Кова­лё­вым.

Доба­вим к парал­ле­лограммам «сред­ние линии» и из точки их пере­се­че­ния про­ве­дём ещё одно корот­кое звено, окан­чи­вающе­еся на другом конце закреп­лён­ным крас­ным шар­ни­ром.

Пока синий шар­нир оста­ется на цен­траль­ной линии, соеди­няющей два изна­чаль­ных непо­движ­ных крас­ных шар­нира, добав­лен­ные зве­нья не вли­яют на коли­че­ство степе­ней сво­боды меха­низма. Его положе­ние зада­ётся, напри­мер, двумя углами пово­рота парал­ле­лограммов, отсчи­ты­ва­емых от гори­зон­тали.

Однако синий шар­нир может уйти с цен­траль­ной линии в момент, когда сред­ние линии и маленькое звено лежат на одной прямой. И как только синий шар­нир ухо­дит с цен­траль­ной линии, положе­ние всего меха­низма начи­нает опре­де­ляться лишь одним парамет­ром! В каче­стве этого параметра можно выбрать, напри­мер, угол между изна­чаль­ным положе­нием добав­лен­ного корот­кого звена и его положе­нием в дан­ный момент времени.

Лите­ра­тура

Wunderlich W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe // Österreichisches Ingenieurarchiv, 1954. — Band 8, Heft 2/3. — S. 224—228.

Wohlhart K. Kinematotropic Linkages // Recent Advances in Robot Kinematics. — Kluwer Academic Publishers, 1996.

Кова­лёв М. Д. Геомет­ри­че­ская тео­рия шар­нир­ных устройств // Изве­стия РАН. Серия матема­ти­че­ская. — 1994. — Т. 58, № 1. — C. 45—70.

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»