Анти-Дюрер

Альбрехт Дюрер (Albrecht Dürer, 1471—1528) — вели­кий немец­кий худож­ник. Он занимался и тео­ре­ти­че­скими вопро­сами изоб­ра­зи­тель­ного искус­ства, в част­но­сти, изу­чал про­блемы пер­спек­тивы. Часть своей книги «Настав­ле­ния в искус­стве изме­ре­ний с помощью цир­куля и линейки, плос­кие и про­стран­ствен­ные тела» 1525 года он посвя­тил изу­че­нию свойств геомет­ри­че­ских объек­тов, в том числе, многогран­ни­ков и их раз­вёр­ток.

Рёбер­ная раз­вёртка многогран­ника состоит из набора много­уголь­ни­ков, рас­по­ложен­ных без пере­се­че­ний в одной плос­ко­сти, и усло­вий склейки гра­ниц этих много­уголь­ни­ков. Если какое-то раз­ре­за­ние многогран­ника по рёб­рам поз­во­ляет обойтись одним много­уголь­ни­ком, при этом не нару­шив усло­вия непе­ре­се­че­ния, то такая рёбер­ная раз­вёртка назы­ва­ется связ­ной.

На стра­ни­цах своей книги Дюрер при­во­дит связ­ные рёбер­ные раз­вёртки нескольких, иногда довольно слож­ных, многогран­ни­ков. Вряд ли он задумы­вался над тем, все­гда ли это возможно и хва­тает ли для изоб­раже­ния раз­вёртки одного много­уголь­ника, но сле­дующее предпо­ложе­ние часто назы­вают его име­нем. Гипо­теза Дюрера состоит в том, что любой выпук­лый многогран­ник имеет хотя бы одну связ­ную рёбер­ную раз­вёртку.

Почему же раз­вёртки многогран­ни­ков вызы­вают не про­хо­дящий на про­тяже­нии сто­ле­тий инте­рес? Дело в том, что раз­вёртка сохра­няет внут­рен­нюю геомет­рию многогран­ника, а именно, ту информацию, кото­рую может полу­чить точеч­ное суще­ство, живущее на поверх­но­сти многогран­ника и не умеющее её поки­дать. При таких усло­виях жизни суще­ство имеет возмож­ность лишь изме­рять рас­сто­я­ние между точ­ками. При нали­чии матема­ти­че­ских спо­соб­но­стей суще­ство, исполь­зуя рас­сто­я­ния, может опре­де­лять углы между направ­ле­ни­ями, счи­тать площадь какой-то обла­сти…

Для неко­то­рых целей исполь­зо­ва­ние раз­вёртки «удоб­нее», нежели исполь­зо­ва­ние самого многогран­ника. Напри­мер, если вы хотите пере­слать модель многогран­ника в дру­гой город, то необ­хо­димо отпра­вить посылку. Но для того чтобы послать раз­вертку многогран­ника, доста­точно отпра­вить всего лишь  письмо, полу­чив кото­рое адре­сат сможет  собрать выпук­лый многогран­ник само­сто­я­тельно. Если вы дума­ете, что транспор­ти­ровка многогран­ни­ков — это редко встре­чающа­яся опе­рация, то оши­ба­е­тесь! Результат этого действия все мы исполь­зуем в повсе­днев­ной жизни, покупая пакет сока или молока…

Гипо­теза Дюрера гово­рит о выпук­лых многогран­ни­ках. Она не дока­зана и не опро­верг­нута и по сей день. Но если изна­чаль­ная науч­ная про­блема не под­да­ется реше­нию, стоит изме­нить какие-то усло­вия и попытаться решить полу­чившуюся задачу. В нашем слу­чае есте­ственно изу­чить ана­лог гипо­тезы для более широ­кого класса многогран­ни­ков, вклю­чив в рас­смот­ре­ние и невыпук­лые многогран­ники.

Постро­ить невыпук­лый многогран­ник с не обя­за­тельно выпук­лыми гра­нями и не имеющий ни одной связ­ной рёбер­ной раз­вёртки легко. Возьмём в каче­стве осно­ва­ния  невыпук­лую звезду и построим на ней  пирамиду. Выби­рая углы звезды и высоту пирамиды, можно достичь того, что если хотя бы одна боко­вая грань не отсо­еди­нена от осно­ва­ния, то при раз­вёр­ты­ва­нии она обя­за­тельно  пере­се­чётся со звез­дой. Зна­чит, осно­ва­ние должно быть отде­лено от всех боко­вых гра­ней и раз­вёртка уже не будет связ­ной.

При­думать невыпук­лый многогран­ник со всеми выпук­лыми гра­нями и не имеющий ни одной связ­ной рёбер­ной раз­вёртки уже не так легко. Пер­вый при­мер был построен только в 1999 году.

Отложим от вершин тет­раэдра вдоль всех его рёбер оди­на­ко­вое небольшое  рас­сто­я­ние. Зафик­си­руем осно­ва­ния полу­чившихся пирами­док, обра­зо­ван­ные отложен­ными точ­ками, а вершины нач­нём  уда­лять от цен­тра тет­раэдра. Все грани  такой кон­струкции — выпук­лые много­уголь­ники. Если осно­ва­ния «шипов» доста­точно маленькие, а сами они — высо­кие, то полу­чившийся невыпук­лый многогран­ник не имеет ни одной связ­ной рёбер­ной раз­вёртки. Можно пока­зать, что если бы «шипо­ван­ный» многогран­ник обла­дал связ­ной рёбер­ной раз­вёрт­кой, то тогда хотя бы один «шип» должен иметь такую же раз­вёртку, однако это не так. Действи­тельно, рас­смот­рим  «шип» и при­легающие к нему куски гра­ней изна­чаль­ного многогран­ника. Все­возмож­ные рёбер­ные раз­вёртки этой части многогран­ника, состо­ящие из одного куска, будут  самопе­ре­се­кающи­мися.

Рас­смот­рев «невыпук­лый контрпри­мер» к гипо­тезе Дюрера, вер­нёмся к её изна­чаль­ным усло­виям — в класс выпук­лых многогран­ни­ков.

Самый про­стой выпук­лый многогран­ник — тре­уголь­ная пирамида: у неё четыре вершины и четыре грани. И даже в этом про­стейшем типе есть  пред­ста­ви­тели, у кото­рых не все рёбер­ные раз­вёртки умещаются в плос­ко­сти без  самопе­ре­се­че­ний. Однако все такие многогран­ники имеют и  связ­ные рёбер­ные раз­вёртки. До сих пор не постро­ено ни одного выпук­лого многогран­ника, имеющего только самопе­ре­се­кающи­еся рёбер­ные раз­вёртки, состо­ящие из одного куска.

Недавно Н.П. Дол­би­ли­ным была сформу­ли­ро­вана задача — обсу­дить «анти-Дюрер»-гипо­тезу. Она заклю­ча­ется в том, что для про­из­воль­ного числа $k$ суще­ствует выпук­лый многогран­ник, такой, что для рас­по­ложе­ния без самопе­ре­се­че­ний в плос­ко­сти его рёбер­ной раз­вёртки необ­хо­димо раз­ре­зать её не менее чем на $k$ частей.

Отме­тим, что если гипо­теза Дюрера неверна, то возможны два принци­пи­ально раз­ных слу­чая.

Огра­ни­чен­ный слу­чай: у любого выпук­лого многогран­ника суще­ствует само­не­пе­ре­се­кающа­яся рёбер­ная раз­вёртка, состо­ящая из не более чем $K$ частей. При этом огра­ни­чи­вающее число $K$ может быть выбрано одним и тем же для всего класса выпук­лых многогран­ни­ков, т.е. не зави­сит от кон­кретно взя­того при­мера.

Более инте­ре­сен неогра­ни­чен­ный слу­чай: на классе всех многогран­ни­ков число необ­хо­димых листов не огра­ни­чено сверху.

«Анти-Дюрер»-гипо­теза как раз состоит в том, что реа­ли­зу­ется неогра­ни­чен­ный слу­чай.

Недавно её ана­лог для невыпук­лых многогран­ни­ков (в неогра­ни­чен­ном слу­чае) был дока­зан рос­сийскими матема­ти­ками.

Вы можете попро­бо­вать постро­ить выпук­лый многогран­ник, у кото­рого все связ­ные рёбер­ные раз­вёртки будут самопе­ре­се­кающи­мися, или дока­зать, что такого многогран­ника не суще­ствует. И, если вы добьё­тесь успеха, в геомет­рию будет впи­сана новая кра­си­вая стра­ница.

Лите­ра­тура

Тара­сов А. С. Многогран­ники, не допус­кающие нату­раль­ных раз­вёр­ток // Успехи матема­ти­че­ских наук. — 1999. — Т. 54, вып. 3. — С. 185—186.

Dolbilin N. P. Anti-Durer Conjecture // Rigidy and Stability Workshop, Open problems session. — Viena, Shrödinger Institute, 2006.

Гла­зырин А. А., Тара­сов А. С. Ана­лог Анти-Дюрер гипо­тезы для невыпук­лых многогран­ни­ков // Труды меж­ду­на­род­ного семи­нара по дис­крет­ной матема­тике, 2007.

Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»