Земные пути⁠

Сфе­ри­че­ский гло­бус — хорошее при­ближе­ние формы нашей Земли. Какой крат­чайший путь на гло­бусе между двумя горо­дами? А как он выгля­дит на карте? Какие самые длин­ные «прямые» мор­ской и сухопут­ный пути на Земле?

С древ­них времён для изоб­раже­ния Земли люди исполь­зо­вали плос­кую карту. Если про­сле­дить по карте марш­рут само­лёта из Москвы на восток, то можно заме­тить, что во время полёта само­лёт заби­ра­ется «высоко вверх». Кажется, что длина такого пути больше длины «прямого» пути, соеди­няющего на карте эти два города, почему не поле­теть напрямую?

Всё дело в том, что поня­тие крат­чайшего рас­сто­я­ния нераз­рывно свя­зано с той поверх­но­стью, по кото­рой оно изме­ря­ется. Сфера явля­ется поверх­но­стью ⁠⁠посто­ян­ной положи­тель­ной кри­визны, и любая плос­кая карта пред­став­ляет зем­ную поверх­ность с искаже­ни­ями (см. раз­дел ⁠⁠Кар­тографи­че­ские про­екции). А рас­смот­ре­ние соот­вет­ствующих тра­ек­то­рий на гло­бусе поз­во­лит во всём разо­браться.

Чтобы найти крат­чайшее рас­сто­я­ние между двумя точ­ками на сфере, необ­хо­димо про­ве­сти через них большую окруж­ность: окруж­ность, обра­зо­ван­ную пере­се­че­нием сферы с плос­ко­стью, про­хо­дящей через центр сферы и выбран­ные точки. Меньшая из двух дуг большой окруж­но­сти, соеди­няющая точки, явля­ется крат­чайшим рас­сто­я­нием на сфере между ними. В матема­тике линию, реа­ли­зующую минималь­ное рас­сто­я­ние между двумя точ­ками на рас­смат­ри­ва­емой поверх­но­сти, назы­вают гео­де­зи­че­ской — это ана­лог отрезка прямой на плос­ко­сти. Все осталь­ные марш­руты, соеди­няющие точки, в том числе тот, кото­рый казался прямым на карте, на гло­бусе (и в реаль­но­сти!) будут длин­нее этой дуги.

А какова при­мер­ная длина самого длин­ного «прямого» мор­ского пути на Земле? Ответьте для себя на этот вопрос, срав­нив её с чет­вер­тью, поло­ви­ной и тремя чет­вер­тями длины эква­тора.

Счи­та­ется, что самый длин­ный мор­ской путь начи­на­ется в Паки­стане, про­хо­дит между Мадага­ска­ром и мате­ри­ком, через про­лив Дрейка между Южной Аме­ри­кой и Антарк­ти­дой, а закан­чи­ва­ется на Кам­чатке. Его длина пре­вос­хо­дит 3/4 длины эква­тора!

А самый длин­ный сухопут­ный путь начи­на­ется в Пор­туга­лии и закан­чи­ва­ется в Юго-Восточ­ном Китае и по длине состав­ляет при­мерно 11 тысяч километ­ров.