Эллипс

Всё, что необ­хо­димо в быту, для того чтобы начер­тить кри­вую, носящую в матема­тике назва­ние «эллипс», —  перед нами. Дощечка, два гвоз­дика, моло­ток, верё­вочка, лез­вие и каран­даш.

Забьём гвоз­дики в про­из­воль­ные две точки нашей доски. Завяжем вокруг них верё­вочку так, чтобы она не была натя­нута. Длину верё­вочки можно взять про­из­воль­ной, а лиш­ние кон­чики отре­зать с помощью лез­вия.

Зацепив каран­дашом верё­вочку, будем перемещать его влево и вправо так, чтобы верё­вочка посто­янно  оста­ва­лась натя­ну­той.

«Но при чём тут какие-то матема­ти­че­ские поня­тия?» — скажете вы. Ока­зы­ва­ется, кри­вая, кото­рую нари­со­вал каран­даш, и назы­ва­ется в матема­тике эллип­сом — геомет­ри­че­ским местом точек, сумма рас­сто­я­ний от кото­рых до двух задан­ных точек, назы­ва­емых фоку­сами, посто­янна. Действи­тельно, длина нашей верё­вочки, при­вя­зан­ной к гвоз­ди­кам — фоку­сам $F_1$ и $F_2$, была  посто­ян­ной, и, зна­чит, каран­даш нари­со­вал эллипс.

Урав­не­ние эллипса проще всего запи­сать в декар­то­вой системе коор­ди­нат,  рас­по­ложен­ной так, что ось $x$ про­хо­дит через два фокуса, а ось $y$ делит рас­сто­я­ние между фоку­сами попо­лам. При этом отре­зок с кон­цами в начале коор­ди­нат и в пере­се­че­нии коор­ди­нат­ной оси с эллип­сом при­нято назы­вать  полу­осью эллипса. В выбран­ных обо­зна­че­ниях урав­не­ние эллипса имеет хорошо зна­комый всем  вид.

На латыни focus озна­чает «очаг, огонь». Как матема­ти­че­ский термин слово «фокус»  ввёл Иоганн Кеплер в сочи­не­нии «Опти­че­ская аст­ро­номия» (1604).

Смотри также

Дроб­ле­ние кам­ней в поч­ках // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 48—49, 302—303.

Другие этюды раздела «Кривые и поверхности второго порядка»