Одним разрезом

На листе бумаги нари­со­вали  про­из­воль­ный много­уголь­ник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы выре­зать много­уголь­ник одним прямо­ли­ней­ным раз­ре­зом?

Рас­смот­рим про­стейший слу­чай — про­из­воль­ный тре­уголь­ник.

Про­ве­дём  бис­сек­трисы и из точки их пере­се­че­ния опу­стим перпен­ди­ку­ляры на сто­роны  тре­уголь­ника. По этим лучам и будем сги­бать  лист бумаги. Все гра­ницы тре­уголь­ника — сто­роны — ока­за­лись лежащими на  одной прямой. Сде­лаем вдоль неё  прямо­ли­ней­ный раз­рез.

Раз­вер­нём  отре­зан­ный уго­лок — это наш изна­чаль­ный тре­уголь­ник. Если раз­вер­нуть оставшуюся часть листа, то видно, что ничего лиш­него не выре­зано — дырка тоже имеет вид  изна­чаль­ного тре­уголь­ника.

Нари­суем  пяти­ко­неч­ную звезду. Это невыпук­лый много­уголь­ник с 10 верши­нами. Однако в этом слу­чае задача облег­ча­ется симмет­рич­но­стью звезды. Про­ве­дём лучи, исхо­дящие из цен­тра и про­хо­дящие  через вершины. По этим лучам сложим  лист бумаги. Отрежем  уго­лок. После раз­во­ра­чи­ва­ния полу­чим выре­зан­ную звезду и дырку в виде  звезды.

Много­уголь­ник, нари­со­ван­ный в начале фильма, тоже может быть выре­зан одним прямо­ли­ней­ным раз­ре­зом. В 1998 году была дока­зана общая

Тео­рема

Все­гда можно так сложить лист бумаги, что любой много­уголь­ник, нари­со­ван­ный на нём, будет выре­заться одним прямо­ли­ней­ным раз­ре­зом.

Дока­за­тельство тео­ремы алго­ритмично, т.е.  авторы при­во­дят спо­соб, как сложить лист бумаги, чтобы кон­крет­ный нари­со­ван­ный много­уголь­ник можно было выре­зать одним прямо­ли­ней­ным раз­ре­зом.

Лите­ра­тура

Demaine Erik D., Demaine Martin L., Lubiw Anna. Folding and cutting paper // Lecture Notes in Computer Science. — 1998. — V. 1763. — P. 104—117.

Demaine Еrik D. Folding and Unfolding.

Demaine Еrik D. Fold-and-Cut Examples.

Другие этюды раздела «Геометрия с листом бумаги»