Детская игрушка «Неваляшка» имеет единственное положение (точку) устойчивого равновесия. Эти слова означают, что если вы немного отклоните неваляшку, то она всегда вернётся в исходное положение.
В финале 2018 года игры «Что? Где? Когда?» в решающем раунде при счёте 5:5 выпал вопрос воспитательницы детского сада: «У нас за кулисами находится то, в верхней части чего на проволоке подвешена металлическая пластина. А в нижней части находится цилиндр из плотного картона с балластом, в который вставлены металлические прутья, по которым при определённых условиях может ударять вышеупомянутая пластина. Что у нас за кулисами?». Знатоки не дали правильного ответа и проиграли.
Нижняя сфера неваляшки является сборной. К полюсам верхней и нижней полусфер приклеиваются «тарелочки», надевающиеся на цилиндр из плотного картона, который и фиксирует положение полусфер. Внутри цилиндра в нижней части есть свинцовое кольцо, в которое вставлены металлические прутья различной длины. Металлическая круглая пластина, подвешенная к верхней точке сферы как маятник, при качании ударяется о прутья, и ребёнок слышит переливы звука (так как стержни разной длины). Отметим, что хотя устройство неваляшки в целом по миру одинаково, не во всех странах их делают музыкальными. А вот положение устойчивого равновесия достигается всегда одинаково — за счёт смещённого центра тяжести.
Кроме положения устойчивого равновесия у неваляшки есть ещё одно положение неустойчивого равновесия. Если её аккуратно очень точно поставить вертикально «на голову», то это тоже будет точка равновесия. Но это положение неустойчиво: если неваляшку вывести из него, то она не вернётся к этому положению.
В 1995 году великий российский математик и популяризатор математики Владимир Игоревич Арнольд задал следующий вопрос. Бывает ли однородная неваляшка? То есть выпуклое однородное тело, имеющее одну точку устойчивого равновесия и одну точку неустойчивого? Выпуклость необходима, иначе можно сделать углубление, ямку, на которую и поставить тело. Положение же устойчивого равновесия должно достигаться не за счёт смещения центра тяжести, как в неваляшке, а только за счёт формы, так как тело однородное, т. е. сделано из материала одной плотности.
Однородное тело с четырьмя (и более) точками равновесия придумать несложно. Тела совсем без точек устойчивого равновесия быть не может — получился бы вечный двигатель. Однородных выпуклых тел с одной или тремя точками равновесия не бывает по топологическим соображениям. Тем самым, интерес представлял именно вопрос об однородной неваляшке.
Ответ на вопрос Арнольда дали венгерские математики G. Domokos и P. L. Várkonyi, представив в 2006 году однородное тело, названное ими Gömböc. У Gömböc есть одно положение устойчивого равновесия и одно положение неустойчивого равновесия.
Самый первый гёмбёц с номером 1 был подарен Владимиру Игоревичу Арнольду на конференции в честь его 70-летия, проходившей в августе 2007 года (сделанные на 3D-принтере модели внутри имеют гравировку: название и номер). Теперь этот экземпляр хранится в лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
