Винтовая линия

Лёг­кость, с кото­рой гайка накру­чи­ва­ется на болт, под­ска­зы­вает, что резьба оди­на­кова по всей длине болта, а матема­ти­че­ская суть резь­бо­вых соеди­не­ний — исполь­зо­ва­ние кри­вой, кото­рая может сколь­зить сама по себе. Эта заме­ча­тель­ная кри­вая назы­ва­ется вин­то­вой линией.

Вин­то­вую линию можно полу­чить,  намо­тав на цилиндр прямо­уголь­ный про­зрач­ный лист с отме­чен­ной диаго­на­лью. В зави­симо­сти от длины листа и, соот­вет­ственно, угла наклона нари­со­ван­ной линии,  будет раз­ли­чаться шаг вин­то­вой линии и коли­че­ство вит­ков.

Формально вин­то­вой линией (цилин­дри­че­ской) назы­ва­ется линия,  опи­сы­ва­емая точ­кой, кото­рая враща­ется с посто­ян­ной угло­вой ско­ро­стью вокруг непо­движ­ной оси и одно­временно перемеща­ется вдоль этой оси с посто­ян­ной ско­ро­стью.

Нагляд­ное пред­став­ле­ние и опре­де­ле­ние соеди­няются в парамет­ри­че­ском зада­нии вин­то­вой линии в прямо­уголь­ной декар­то­вой системе коор­ди­нат: $$ x=a \cos t,\quad y=a \sin t,\quad z=ht. $$ Пер­вые два урав­не­ния пока­зы­вают, что про­екция точки бежит по осно­ва­нию прямого круго­вого цилин­дра ради­уса $a$. Тре­тье урав­не­ние задаёт движе­ние вдоль оси цилин­дра с посто­ян­ной ско­ро­стью.

У «хороших» кри­вых в трёхмер­ном про­стран­стве есть две базо­вые харак­те­ри­стики — кри­визна и кру­че­ние.

Кри­визна — харак­те­ри­зует ско­рость искрив­ле­ния линии в плос­ко­сти и опре­де­ля­ется ради­у­сом окруж­но­сти, дуга кото­рой наи­лучшим обра­зом при­ближает небольшой отре­зок кри­вой, содержащий дан­ную точку). Кру­че­ние — ско­рость, с кото­рой кри­вая стремится не быть плос­кой, насколько кри­вая хочет поки­нуть плос­кость.

Заме­ча­тельно, что для доста­точно глад­ких кри­вых кри­визна и кру­че­ние пол­но­стью опре­де­ляют форму линии.

У вин­то­вой линии кри­визна и кру­че­ние посто­янны, а из при­ве­дён­ного утвер­жде­ния сле­дует, что подоб­ным свойством обла­дают только такие линии!

Посто­ян­ство кри­визны и кру­че­ния во всех точ­ках озна­чает, что устройство вин­то­вой линии всюду одно и то же. Как след­ствие, полу­чаем, что отре­зок вин­то­вой линии может сколь­зить вдоль неё точно так же, как отре­зок — по прямой, дуга окруж­но­сти — по своей окруж­но­сти. (Прямую и окруж­ность можно рас­смат­ри­вать как вырож­ден­ные, пре­дель­ные слу­чаи вин­то­вой линии.)

Резь­бо­вые соеди­не­ния, в част­но­сти резьба болта или винта осно­ваны на вин­то­вой линии. При закру­чи­ва­нии  резьба сколь­зит как будто по лыжне.

Вин­то­вая линия — един­ствен­ная кри­вая, кото­рая может сколь­зить сама по себе. И при реше­нии инже­нер­ных задач, в кото­рых нали­чие такого свойства жела­тельно или даже необ­хо­димо, без вин­то­вых линий не обойтись.

Вин­то­вой линией явля­ется и гра­ница  вин­то­вых лест­ниц. Под­нима­ясь по ним, вы по самому опре­де­ле­нию под­нима­е­тесь вверх с посто­ян­ной ско­ро­стью. Форму вин­то­вой линии имеют и штопор, и рыбац­кий бур, сколь­зящие в мате­ри­але по уже прой­ден­ному пути.

Лите­ра­тура

Резь­бо­вые соеди­не­ния // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 56, 307.

Другие этюды раздела «Замечательные кривые»