Прямило Липкина

Со времён изоб­ре­те­ния Джейм­сом Уат­том паро­вой машины сто­яла задача постро­е­ния шар­нир­ного меха­низма, пере­во­дящего движе­ние одного шар­нира по окруж­но­сти в движе­ние другого шар­нира по прямой, т.е. спрям­ляющего меха­низма, или прямила.

Долгое время учё­ные и инже­неры не могли решить эту задачу, стро­или при­ближён­ные прямила, где ведомый шар­нир ходил не строго по прямой, но рядом, не очень далеко уда­ля­ясь от неё. А окон­ча­тельно решить задачу созда­ния прямила помогла кра­си­вая матема­тика.

Напом­ним, что инвер­сией на плос­ко­сти отно­си­тельно окруж­но­сти назы­ва­ется вза­имно одно­знач­ное отоб­раже­ние внут­рен­но­сти окруж­но­сти (за исклю­че­нием одной точки — цен­тра) на всю внеш­ность окруж­но­сти. Обра­зом точки $A$ явля­ется точка $A'$, лежащая на луче, выхо­дящем из цен­тра окруж­но­сти и про­хо­дящем через точку $A$. Рас­по­ложе­ние на луче опре­де­ля­ется равен­ством $OA \cdot OA'=R^2$. С помощью инвер­сии в геомет­рии реша­ется много инте­рес­ных задач. Как мы уви­дим, пре­об­ра­зо­ва­ние инвер­сии поз­во­ляет решать не только тео­ре­ти­че­ские задачи.

Рас­смот­рим шар­нир­ный меха­низм с одним закреп­лён­ным крас­ным шар­ни­ром. К кон­цам двух длин­ных зве­ньев, имеющих оди­на­ко­вую длину, при­креп­лён шар­нир­ный ромб.

Этот меха­низм реа­ли­зует инвер­сию отно­си­тельно окруж­но­сти с цен­тром в закреп­лён­ном шар­нире и ради­у­сом, зави­сящим от длины зве­ньев меха­низма.

С помощью нашего меха­низма посмот­рим, какими свойствами обла­дает отоб­раже­ние инвер­сии.

Из самого опре­де­ле­ния инвер­сии понятно, что обра­зом отрезка, лежащего на прямой, про­хо­дящей через центр инвер­сии, явля­ется отре­зок, снова лежащий на этой же прямой.

Обра­зом отрезка, лежащего на прямой, не про­хо­дящей через центр инвер­сии, явля­ется дуга окруж­но­сти, про­хо­дящей через центр инвер­сии.

Окруж­ность, не про­хо­дящая через центр инвер­сии и не пере­се­кающа­яся с окруж­но­стью инвер­сии, пере­во­дится меха­низмом снова в окруж­ность.

Инвер­сия сохра­няет углы между кри­выми, однако меняет их ори­ен­тацию. Такие пре­об­ра­зо­ва­ния в матема­тике назы­ваются анти­конформ­ными (конформ­ные — те, кото­рые сохра­няют и углы, и их ори­ен­тацию).

Дуга окруж­но­сти, про­хо­дящей через центр инвер­сии, отоб­ража­ется… в точно прямо­ли­ней­ный отре­зок!

Именно это свойство и было исполь­зо­вано для постро­е­ния пер­вого в исто­рии точ­ного прямила. Для того чтобы ведущий шар­нир ходил строго по окруж­но­сти, про­хо­дящей через центр инвер­сии, доба­вим непо­движ­ный шар­нир в центр окруж­но­сти и звено, по длине рав­ное ради­усу. Тем самым ведомый шар­нир все­гда будет ходить по прямо­ли­ней­ному участку. Ввиду того, что дан­ный тип прямил исполь­зует свойства инвер­сии, их часто назы­вают инвер­со­рами.

О постро­е­нии инвер­сора в 1864 году в част­ном письме сообщил офицер инже­нер­ного корпуса фран­цуз­ской армии Посе­лье (Charles Nicolas Peaucellier, 1823—1913). Однако он не ука­зал ника­ких подроб­но­стей постро­е­ния меха­низма. В 1868 году сту­дент П. Л. Чебышева Липман Лип­кин (1846—1876) изоб­рёл инвер­сор. Его подроб­ная ста­тья вышла в 1870 году, и лишь в 1873 году появи­лась ста­тья Посе­лье с опи­са­нием такого же прямила и со ссыл­кой на работу Лип­кина.

Впо­след­ствии были постро­ены прямила, осно­вы­вающи­еся и на других матема­ти­че­ских идеях. Однако инвер­сор отли­ча­ется кра­со­той, хорошими меха­ни­че­скими свойствами и нашёл много при­ме­не­ний в тех­нике.

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»