Мятый рубль

После войны, в 1947 году, в СССР были вве­дены деньги  нового образца. И хотя в 1956 году Карело-Фин­ская Совет­ская Соци­а­ли­сти­че­ская рес­пуб­лика была воз­вращена в состав РСФСР, и, соот­вет­ственно, коли­че­ство лен­то­чек на гербе уменьши­лось, год на банк­но­тах менять не стали.

В том же 1956 году Вла­ди­мир Иго­ре­вич Арнольд поста­вил задачу о мятом рубле. Можно ли сложить прямо­уголь­ный лист бумаги (рубль) в плос­кий много­уголь­ник так, чтобы периметр конеч­ного много­уголь­ника был больше периметра исход­ного прямо­уголь­ника?

В 1961 году нашу страну постигла новая реформа денег. Дизайн руб­лё­вой банк­ноты  изме­нился, её физи­че­ский размер стал гораздо меньше. К этому времени задача всё ещё не была решена.

Кроме того, что положи­тель­ный ответ «можно» про­ти­во­ре­чит инту­иции, есть и матема­ти­че­ские доводы в пользу отрица­тель­ного ответа. Если сложить прямо­уголь­ник вдоль прямой, то периметр только  уменьшится: к уже суще­ство­вавшей гра­нице при­бав­ля­ется отре­зок той прямой, вдоль кото­рой скла­ды­ва­ется, а уко­ра­чи­ва­ется гра­ница на лома­ную с теми же кон­цами, что и отре­зок. Если сде­лать ана­логич­ную опе­рацию — сложить отно­си­тельно прямой весь уже полу­чившийся мно­уголь­ник, — то ситу­ация будет такая же: периметр уве­ли­чи­ва­ется на длину отрезка, а уменьша­ется на длину лома­ной. Такое скла­ды­ва­ние — отно­си­тельно прямой — назы­ва­ется «про­стым» и все­гда только уменьшает периметр. Но это только доводы, но ещё не дока­за­тельство.

Так можно или нельзя уве­ли­чить периметр изна­чаль­ного прямо­уголь­ника? В реформах 1991 и 1993 годов рубль образца 61 года был выве­ден из обраще­ния, а задача В. И. Арнольда так и оста­ва­лась нерешён­ной.

С тех пор один рос­сийский рубль — это, к сожа­ле­нию, настолько мало, что бумаж­ных банк­нот такого досто­ин­ства уже не выпус­кают, лишь метал­ли­че­ские монеты.

В начале XXI века задача всё же была решена. Пер­вое матема­ти­че­ски строгое реше­ние дал уче­ник Нико­лая Пет­ро­вича Дол­би­лина — Алек­сей Тара­сов. Он пред­ложил алго­ритм, как скла­ды­вать квад­рат так, чтобы в итоге полу­чился плос­кий много­уголь­ник с большим перимет­ром.

Для тех, кто хочет про­сто любо­ваться фильмом, сле­дующий абзац можно про­пу­стить. Для желающих понять опишем спо­соб сложе­ния подробно.

Возьмём квад­рат­ный лист бумаги и разо­бьём его на клетки, напри­мер, 4×4. Рас­кра­сим клетки  в шахмат­ном порядке в две краски и в каж­дом квад­рате из цен­тра пустим опре­де­лён­ное коли­че­ство  лучей. Рас­ста­вим в крас­ных квад­ра­тах зелё­ные  звёз­дочки так, чтобы их размер уве­ли­чи­вался при хож­де­нии по спи­рали. Теперь  сложим лист бумаги в полоску, затем в прямо­уголь­ник, и в самом конце — в тре­уголь­ник. Эта  слойка устро­ена сле­дующим обра­зом. Есть несколько синих слоев в одной поло­вине, а в дру­гой поло­вине — крас­ные слои. Спо­соб постро­е­ния зелё­ных звёз­до­чек был таков, что после про­ве­дён­ного сложе­ния они уменьшаются к сере­дине много­слой­ного тре­уголь­ника, как бы вложены друг в друга. Нач­нём сми­нать слойку так, чтобы синие слои шли выпук­лым обра­зом наружу и красно-зелё­ные слои тоже. Мы полу­чаем поверх­ность, кото­рая, в конце концов, скла­ды­ва­ется в  плос­кий много­уголь­ник.

У полу­чившегося много­уголь­ника есть крас­ное осно­ва­ние (синие тре­уголь­ники нахо­дятся там же, внутри слойки) и зелё­ная гре­бёнка. При этом у гре­бёнки иго­лок столько же, сколько было зелё­ных звёз­до­чек, т. е. крас­ных квад­ра­тов.

А уве­ли­чился ли периметр отно­си­тельно изна­чаль­ного квад­рата? Решена ли постав­лен­ная задача? Если срав­нить фигуры, то видно, что периметр сильно  уменьшился. Зачем же тогда скла­ды­вали таким слож­ным спо­со­бом?

На кон­крет­ном при­мере был рас­смот­рен общий алго­ритм. И в этом алго­ритме есть два параметра — коли­че­ство кле­ток в раз­би­е­нии изна­чаль­ного квад­рата и коли­че­ство лучей в каж­дом квад­рате. Посмот­рим, что будет, если менять эти параметры.

При том же раз­би­е­нии 4×4 будем уве­ли­чи­вать коли­че­ство лучей внутри каж­дой клетки. Это  при­ве­дёт к утоньше­нию иго­ло­чек гре­бёнки, их меньшему пере­се­че­нию и, соот­вет­ственно, небольшому уве­ли­че­нию периметра.

Есть ещё вто­рой параметр — коли­че­ство кле­ток раз­би­е­ния изна­чаль­ного квад­рата. Если уве­ли­чи­вать этот параметр, то по постро­е­нию будет уве­ли­чи­ваться и  коли­че­ство иго­лок в гре­бёнке.

Совмест­ное уве­ли­че­ние обоих парамет­ров — и коли­че­ства кле­ток, и коли­че­ства лучей в каж­дой клетке — даёт уве­ли­че­ние периметра. Насколько же он может уве­ли­чи­ваться? Ока­зы­ва­ется, до  бес­ко­неч­но­сти. А это зна­чит, что в какой-то момент он ста­нет больше, чем периметр изна­чаль­ного квад­рата!

Задача о мятом рубле — поскла­ды­вать прямо­уголь­ник и уве­ли­чить периметр — решена. Но сколько же раз надо скла­ды­вать? Довольно много. Из работы А. Тара­сова можно полу­чить оценку: при раз­би­е­нии 16×16 и коли­че­стве лучей в каж­дой клетке 16²·30 периметр полу­чившегося много­уголь­ника будет больше, чем периметр изна­чаль­ного квад­рата.

В фильме это пока­зать нельзя, а можно ли сде­лать в жизни? Вы навер­няка хорошо пом­ните, что сложить лист бумаги, даже очень тон­кой, можно не более 7—8 раз. Если давно это не делали — про­верьте про­стым экс­пе­римен­том. Так что же даёт сама задача, постав­лен­ная В. И. Арноль­дом, и такой «нере­а­ли­зу­емый» алго­ритм? Отта­чи­ва­ние инструмента науки, кото­рый навер­няка при­го­дится в даль­нейшем её раз­ви­тии.

Лите­ра­тура

Арнольд В. И. Задача 1956-1 // Задачи Арнольда. — Фазис, 2000. — С. 2.

Тара­сов А. Реше­ние задачи Арнольда о «мятом рубле» // Чебышев­ский сбор­ник. — 2004. — Вып. 1. Т. 5. — С. 174—187.

Пет­ру­нин А. Плос­кое оригами и длин­ный рубль. — arXiv:1004.0545v1.

Другие этюды раздела «Геометрия с листом бумаги»