И это развёртка?!

Какого только вида не бывают раз­вёртки самых при­выч­ных для нас многогран­ни­ков. Но неужели из  этого куска кар­тона можно сложить пра­виль­ный тет­раэдр?

Раз­ложим тет­раэдр в самую при­выч­ную  раз­вёртку.

Про­ве­дём отре­зок из угла большого тре­уголь­ника к сере­дине про­ти­вопо­лож­ной сто­роны (вершине исход­ного тет­раэдра) и  раз­режем по нему наш кусок кар­тона. Повер­нём  часть раз­вёртки вокруг точки, отве­чающей вершине тет­раэдра. При этом мы склеим два ребра, но в изна­чаль­ном тет­раэдре они были ровно так же скле­ены, поэтому усло­вия склейки гра­ниц нашей раз­вёртки мы не нару­шили. Но теперь у нас доба­вился кусо­чек гра­ницы, кото­рого не было в исход­ной раз­вёртке. Обо­зна­чим это «фальши­вое» ребро крас­ным цве­том.

Давайте повто­рим опе­рацию ещё раз.

Опять про­ве­дём отре­зок из угла к сере­дине про­ти­вопо­лож­ной сто­роны и  раз­режем по нему. Сде­лаем  пово­рот и склейку. Полу­чился тот самый кусок кар­тона, с кото­рого мы начали фильм!

Давайте убе­димся, что полу­чившийся кусок кар­тона явля­ется раз­верт­кой исход­ного многогран­ника. В левой части тре­уголь­ника есть куски, кото­рые мы не пере­кла­ды­вали с самого начала. Один из маленьких тре­уголь­нич­ков соот­вет­ствует части осно­ва­ния  исход­ного тет­раэдра. Совме­стим их.

А теперь  будем «нама­ты­вать» нашу фигуру на тет­раэдр. Как видим, всё схо­дится!

Все отрезки крас­ных — «фальши­вых» — рёбер ока­за­лись соеди­няющими тре­уголь­ники, лежащие в одной плос­ко­сти, и, зна­чит, после склейки эти рёбра про­па­дут. А те отрезки, что были покрашены в жёл­тый цвет, ложатся на рёбра тет­раэдра и  являются насто­ящими рёб­рами.

На вопрос, можно ли из дан­ного куска кар­тона сложить выпук­лый многогран­ник, отве­чает тео­рема вели­кого рус­ского геометра Алек­сандра Дани­ло­вича Алек­сан­дрова. Где будут вершины этого многогран­ника, можно понять. А вот как в общем слу­чае между верши­нами прой­дут насто­ящие рёбра, матема­тики до сих пор опре­де­лять не умеют. Но это уже другая исто­рия, для другого Этюда…

Лите­ра­тура

Дол­би­лин Н. П. Жем­чужины тео­рии многогран­ни­ков. — М. : МЦНМО, 2000.

Дол­би­лин Н. П. Три тео­ремы о выпук­лых многогран­ни­ках.

Часть 1 // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.

Часть 2 // Квант. — 2001. — № 6. — С. 3—10.

Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»