Развёртка

Что такое раз­вёртка многогран­ника? Вы скажете — кусок кар­тона, из кото­рого можно свер­нуть дан­ный многогран­ник. В этом есть правда, но это не вся правда. Ока­зы­ва­ется, поня­тие раз­вёртки вклю­чает в себя больше, чем про­сто кусок кар­тона.

Какой многогран­ник можно свер­нуть из столь хорошо извест­ного  латин­ского кре­ста? Конечно же, куб. Для этого надо  покра­сить ребра, как это сде­лала наша волшеб­ная кисточка (рёбра оди­на­ко­вого цвета скле­и­ваются в многогран­нике друг с другом).

На самом деле, конечно же, лучше было бы рас­краши­вать не ребра, а каж­дую пару точек в один цвет. Это бы задало, как гово­рят в матема­тике, усло­вия склейки гра­ниц.

После того как усло­вия склейки гра­ниц заданы, рёбра, про­хо­дящие внутри куска кар­тона,  опре­де­лены одно­значно по тео­реме А. Д. Алек­сан­дрова.

Итак, из  кре­ста можно сложить куб.

Но ока­зы­ва­ется, что если усло­вия склейки гра­ниц задать по-другому, то можно полу­чить совсем даже не куб!

Наша волшеб­ная кисточка покра­сила гра­ницы  вот таким обра­зом. Ещё один её взмах — и мы уже знаем, как  опре­де­лены рёбра внутри куска кар­тона. Если теперь, сле­дуя нари­со­ван­ным усло­виям склейки,  сложить многогран­ник, то  полу­чим пирамиду!

Не так давно было дока­зано, что по-раз­ному зада­вая усло­вия склейки гра­ниц латин­ского кре­ста, из него можно сложить 5 раз­лич­ных типов выпук­лых многогран­ни­ков.

Итак, как мы убе­ди­лись, в поня­тие раз­вёртки вхо­дит не только кусок кар­тона, но и усло­вия склейки его гра­ниц. Если послед­нее не опре­де­лено, то из одного и того же куска можно сложить раз­ные выпук­лые многогран­ники.

Лите­ра­тура

Алек­сан­дров А. Д. Выпук­лые многогран­ники.

Anna Lubiw, Joseph O'Rourke. When Does a Polygon Fold to a Polytope.

Demaine E. 85 вари­ан­тов сложе­ния латин­ского кре­ста.

Дол­би­лин Н. П. Три тео­ремы о выпук­лых многогран­ни­ках.

Часть 1 // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.

Часть 2 // Квант. — 2001. — № 6. — С. 3—10.

Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»