Экранировать луч

Можно ли так рас­ста­вить круг­лые зер­каль­ные колонны, чтобы луч, идущий парал­лельно полу, не достигал стены ни при каком изна­чаль­ном направ­ле­нии? Колонны с зер­каль­ной цилин­дри­че­ской боко­вой поверх­но­стью могут быть про­из­воль­ного диаметра и постав­лены в любую точку с усло­вием, что они не касаются друг друга (в таком слу­чае задача три­ви­альна).

Как известно, отраже­ние от зер­кала про­ис­хо­дит по пра­вилу «угол паде­ния равен углу отраже­ния». В слу­чае, если зер­кало неплос­кое, то углом между лучом и поверх­но­стью зер­кала назы­ва­ется угол с каса­тель­ной плос­ко­стью, про­ве­дён­ной в точке паде­ния луча.

Сколько доста­точно колонн и каково должно быть их рас­по­ложе­ние, чтобы луч был экра­ни­ро­ван и не достиг стенки? Хва­тит конеч­ного числа зер­кал или их нужно бес­ко­нечно много? А может, и бес­ко­неч­ного числа не хва­тит?

Понятно, что одной колонны не хва­тит. Луч может пройти  мимо неё, но даже если он и попа­дёт в колонну, то после отраже­ния всё равно  достиг­нет стены. Таким обра­зом, при любом началь­ном направ­ле­нии луч падает на стену.

Оче­видно, что и двух, и трёх колонн недо­ста­точно — из цен­тра зала по неко­то­рым направ­ле­ниям будет видна стена. И зна­чит, луч, пущен­ный в этих направ­ле­ниях, достиг­нет её.

Инту­иция под­ска­зы­вает, а  экс­пе­римент под­твер­ждает, что малого коли­че­ства колонн недо­ста­точно для экра­ни­ро­ва­ния луча.

Поста­вим  много колонн и выпу­стим лучи «во всех» направ­ле­ниях. Экс­пе­римент пока­зы­вает, что  лучи достиг­нут стены.

Однако экс­пе­римент — это ещё не дока­за­тельство. Может быть, надо было рас­ста­вить колонны как-то по-другому или же взять на несколько колонн больше… До сих пор матема­тики не знают, доста­точно ли какого-либо конеч­ного коли­че­ства (пусть и очень большого) колонн для экра­ни­ро­ва­ния луча. Если доста­точно, то каковы должны быть их диаметры и рас­по­ложе­ние? А может быть, и бес­ко­неч­ного числа колонн не хва­тит для реше­ния постав­лен­ной задачи?

Быть может, вы при­дума­ете, как нужно рас­ста­вить колонны?

Другие этюды раздела «Другие интересные темы»