Математические этюды

Лестница в бесконечность⁠

совместно с Сергеем Петровичем Коноваловым

Лестница в бесконечность

В каком месте нужно взять кирпичик, чтобы он не перевешивал ни в какую сторону? Конечно, посередине. Центр тяжести одного кирпича находится на средней линии. Значит, этот кирпич можно положить на другой, сместив относительно нижнего на половину длины, и он не упадёт.

А в каком месте нужно поднимать построенную систему? Нетрудно посчитать, что центр тяжести нашей конструкции из двух кирпичей находится на прямой, смещённой на $1/4$ длины кирпича. Действительно, центр тяжести верхнего кирпича проецируется на границу нижнего, такая же масса расположена посередине нижнего кирпича. Значит, центр тяжести системы находится ровно посередине половины кирпича, т.е. на расстоянии $1/4$ длины от края.

Трактор привозит ещё один кирпич. Как мы уже посчитали, верхние два могут быть сдвинуты относительно него на одну четверть длины.

Бабочка — существо лёгкое, погрузчику приятно поиграть с ней. Но вот она садится на кирпичи. Если она села в точку, которая проецируется на нижний кирпич, то построенная лестница не развалится. Но вот она перелетела и села чуть правее, и лестница начала разваливаться. Погрузчику приходится торопиться, чтобы поддержать построенную конструкцию и не дать упасть. Это ещё раз показывает, что сдвиги на $1/2$ и $1/4$ длины кирпичей являются максимальными, когда конструкция ещё устойчива без цемента, а только под действием силы тяжести кирпичиков.

А где находится центр тяжести системы из трёх кирпичей? Центр тяжести системы верхних двух кирпичей проецируется на самую границу нижнего. Его же центр тяжести находится посередине. Но теперь массы, приложенные к этим двум точкам, неодинаковые — справа масса двух кирпичей, а слева только одного. Значит, линия, содержащая центр тяжести системы трёх кирпичей с рассматриваемыми сдвигами, делит расстояние между половиной кирпича и краем в отношении $2:1$, считая от центра. Т.е. проходит на расстоянии $1/6$ длины кирпича от края.

Таким методом можно посчитать, что, не желая пользоваться цементом, мы можем строить лестницу, сдвигая систему из верхних n кирпичей относительно края нижнего на $1/(2n)$ длины кирпича. Так мы и будем строить, получая на каждом шаге максимальный возможный сдвиг по горизонтали.

Рассмотрим первые сдвиги уже построенной лестницы. Это $1/2$, $1/4$, $1/6$, $1/8$. Не трогая первые два члена, сгруппируем $1/6$ и $1/8$, как математики говорят, в «блок». Задвинем верхний кирпичик так, чтобы все сдвиги в блоке были одинаковые и равнялись наименьшему, т.е. $1/8$. Тогда суммарный сдвиг получится $2\cdot1/8=1/4$. Таким образом, сдвиг по горизонтали, даваемый этим блоком, больше (мы же задвигали один кирпичик) $1/4$ длины кирпича.

Как разбивать на блоки нашу лестницу — в нашем распоряжении. И следующий блок, который мы рассмотрим, будет состоять из четырёх кирпичиков. Это даст нам общий сдвиг на $1/10+1/12+1/14+1/16$. Чтобы оценить сдвиг в каждом блоке, будем поступать одинаково. Повторим действие, сделанное в первом блоке — задвинем верхние кирпичики так, чтобы их сдвиг равнялся наименьшему в блоке. Получим, что к горизонтальной длине лестницы четыре раза прибавляется по $1/16$, т.е. $4\cdot1/16=1/4$ длины кирпича. Значит, сдвиг по горизонтали, даваемый этим блоком, тоже больше $1/4$ длины кирпича.

Вы уже усмотрели общую схему? Следующий блок будет состоять из $2^3$ кирпичиков, и наименьший сдвиг будет на $1/2^5$ длины кирпича. Соответственно, общий сдвиг, даваемый этим блоком, будет тоже больше $1/4=2^3\cdot1/2^5$.

Таким способом можно разбить всю нашу лестницу на блоки. Блок с номером $n$ будет состоять из $2^n$ кирпичиков, и наименьший сдвиг в нём будет на $1/2^{ n+2 }$ длины кирпича. Общая длина блока будет больше чем $2^n\cdot1/2^{ n+2 }=1/4$.

Домножим каждый член ряда на 2, а затем сократим дроби. Мы получим ряд $1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n+...$ Этот ряд называется гармоническим. Он играет большую роль в математике, и в каком-то смысле является пограничным. Если вы будете строить лестницу (уже с использованием цемента) со сдвигами большими, чем $1/n$ (т.е. в знаменателе будет стоять число меньше $n$), то такая лестница уйдёт по горизонтали в бесконечность.

В математике подобное свойство называют расходимостью ряда — какое бы ни было заранее задано большое число, всегда можно взять столько членов ряда, что их сумма будет больше заданного числа. Один из критериев расходимости — сравнение с гармоническим рядом.

Лестница в бесконечность: расходимость гармонического ряда

Удаляясь, машинки беседуют:
— Удивительно, неужели лестница окажется и над этим местом?
— Мы же показали, что можно взять сколь угодно много блоков, каждый по длине больше $1/4$ длины кирпича…