Геометрия поворота

Парал­лельны ли друг другу перед­ние колёса автомо­биля  при пово­роте?

Ока­зы­ва­ется, что именно геомет­рия и меха­ника опре­де­ляют то, как надо пово­ра­чи­вать колёса автомо­биля.

Если про­долже­ние оси колёс направ­лено  в центр пово­рота, то колесо остав­ляет чёт­кий след. Чёт­кая кар­тинка будет, и если  несколько осей направ­лены в центр пово­рота. Однако, если про­долже­ние оси колеса направ­лено не в центр пово­рота, то колесо катится  с про­скаль­зы­ва­нием. След будет стёр­тым, а самое глав­ное, управ­ля­емость транспорта с таким коле­сом будет тем хуже, чем выше ско­рость. Итак, для хорошей управ­ля­емо­сти про­долже­ния осей колес должны быть направ­лены в центр пово­рота. Что же это зна­чит для четырёх­ко­лёс­ного автомо­биля?

Научимся для начала про­хо­дить про­стой пово­рот — дугу окруж­но­сти.

Так как зад­ние колёса в большин­стве машин не пово­ра­чи­ваются, то центр окруж­но­сти пово­рота должен лежать  на про­долже­нии оси этих колёс. Перед­ние колёса необ­хо­димо повер­нуть так, чтобы про­долже­ние оси каж­дого колеса смот­рело в этот же центр. А зна­чит, для хорошей управ­ля­емо­сти перед­ние колёса необ­хо­димо пово­ра­чи­вать на раз­ные углы, и они будут  непа­рал­лельны!

Вы скажете, что пово­роты не все­гда являются дугой какой-либо окруж­но­сти, и уж тем более машина не оста­нав­ли­ва­ется для того, чтобы повер­нуть колёса. Это, конечно, правда, но ока­зы­ва­ется, что при любом пово­роте в каж­дый момент времени можно счи­тать, что машина едет по дуге неко­то­рой окруж­но­сти (радиус и центр кото­рой зави­сят от момента времени).

Рас­смот­рим про­из­воль­ную дорогу. Чтобы по ней можно было ездить, у неё не должно быть ост­рых углов, т.е. сред­няя линия будет, как гово­рят в матема­тике, глад­кой кри­вой.

Зафик­си­руем синюю точку на сред­ней линии и подумаем, каким более про­стым геомет­ри­че­ским объек­том можно заме­нить кри­вую в небольшой окрест­но­сти нашей точки.

Возьмём про­из­воль­ную крас­ную точку неда­леко от синей. Две точки на плос­ко­сти опре­де­ляют един­ствен­ную прямую, кото­рую и про­ве­дём. Будем двигать крас­ную точку по кри­вой к синей. В момент, когда они совпа­дут, прямая, ими опре­де­ля­емая, будет  каса­тель­ной прямой. Она даёт  линей­ное при­ближе­ние кри­вой дороги в небольшой окрест­но­сти зафик­си­ро­ван­ной точки. Однако при уве­ли­че­нии видно, что дорога и каса­тель­ная прямая рядом идут на очень маленьком участке.

Справа и слева от синей точки возьмём по крас­ной. Три точки, не лежащие на одной прямой, опре­де­ляют един­ствен­ную окруж­ность, кото­рую и про­ве­дём. Будем двигать крас­ные точки к синей. В момент, когда они совпа­дут, полу­чим окруж­ность, кото­рая назы­ва­ется  сопри­ка­сающейся. Это при­ближе­ние уже вто­рого порядка, и  на уве­ли­че­нии видно, насколько оно лучше. Заме­тим, что на моно­тон­ном участке (воз­рас­та­ния или убы­ва­ния кри­вой) сопри­ка­сающа­яся окруж­ность все­гда  пере­се­кает кри­вую, в отли­чие от каса­тель­ной, рас­по­ложен­ной на таких участ­ках по одну сто­рону от кри­вой.

Так как сопри­ка­сающа­яся окруж­ность для нашей задачи хорошо при­ближает дорогу и может быть постро­ена в любой её точке, то движе­ние по изги­бам дороги можно рас­смат­ри­вать в каж­дый момент времени как движе­ние по дуге неко­то­рой окруж­но­сти. Мгно­вен­ные радиус и центр этой окруж­но­сти зави­сят, конечно, от той точки, в кото­рой нахо­дится машина.

Таким обра­зом, при движе­нии в про­из­воль­ном пово­роте можно счи­тать, что в каж­дый момент времени машина  движется по небольшой дуге неко­то­рой окруж­но­сти. И наш пер­вый слу­чай — пово­рот машины по дуге окруж­но­сти — основ­ной, кото­рый и нужно изу­чать.

Но как достичь того, чтобы при любом пово­роте колёс про­долже­ние осей смот­рело в мгно­вен­ный центр пово­рота?

Ока­зы­ва­ется, и здесь на помощь при­хо­дит геомет­рия, а именно извест­ная со школы  рав­но­бо­кая трапе­ция — четырёх­уголь­ник, у кото­рого две сто­роны, назы­ва­емые осно­ва­ни­ями, парал­лельны между собой, а боко­вые сто­роны равны друг другу. Если пра­вильно подо­брать размеры сто­рон трапе­ции, то достига­ется небо­хо­димое для хорошего управ­ле­ния усло­вие — про­долже­ние осей перед­них колёс пере­се­ка­ется в точке, лежащей на про­долже­нии оси зад­них колёс. Эта точка и есть мгно­вен­ный центр пово­рота машины.

При­думал такое управ­ле­ние перед­ними колё­сами фран­цуз, карет­ных дел мастер Шарль Жанто (Charles Jeantand). Однако для карет, пере­двигавшихся с малыми ско­ро­стями, это было не так суще­ственно, как для машин, и изоб­ре­те­ние Жанто было забыто. Лишь почти через три чет­верти века два отца автомо­би­ле­стро­е­ния, два немца, два инже­нера — Готт­либ Дайм­лер (Gottlieb Wilhelm Daimler) и Карл Бенц (Karl Friedrich Michael Benz) — изоб­ре­тая свои автомо­били, воз­вращаются к трапе­ции Жанто. В 1889 году Дайм­лер полу­чает патент на «спо­соб неза­ви­симого управ­ле­ния перед­ними колё­сами с раз­но­ве­ли­кими ради­у­сами пово­рота». А в 1893 году Бенц полу­чает патент на «устройство управ­ле­ния экипажей с тангенци­аль­ными к колё­сам окруж­но­стями управ­ле­ния». Решив задачу управ­ле­ния перед­ними пово­рот­ными колё­сами и другие важ­ные тех­ни­че­ские вопросы, Карл Бенц строит свой пер­вый знаме­ни­тый четырёх­ко­лёс­ный автомо­биль «Вик­то­рия».

С точки зре­ния стро­гой матема­тики, трапе­ция не поз­во­ляет достичь необ­хо­димого усло­вия — чтобы про­долже­ние осей перед­них колес при любом пово­роте пере­се­ка­лось в точке, лежащей на про­долже­нии зад­ней оси. При исполь­зо­ва­нии трапе­ции эта точка будет все­гда лежать чуть-чуть в сто­роне от линии зад­ней оси. Зачем же мы столько обсуж­дали трапе­цию, скажете вы? Рас­стра­и­ваться рано — про­сто не надо без­думно пере­но­сить матема­ти­че­скую строгость в тех­ни­че­ские вопросы. Чтобы точка пере­се­че­ния линий перед­них осей все­гда лежала на линии зад­ней оси, необ­хо­димо, чтобы длина меньшего осно­ва­ния трапе­ции немного меня­лась. При общей длине этого осно­ва­ния более метра необ­хо­димые изме­не­ния длины состав­ляют всего около одного сан­тиметра, а это меньше чем люфты в соеди­не­ниях и раз­решён­ные допуски при изго­тов­ле­нии.

Со времён изоб­ре­те­ния пер­вых автомо­би­лей ско­ро­сти пере­движе­ния сильно воз­росли. Уве­ли­чи­лись и тре­бо­ва­ния к управ­ле­нию перед­ними колё­сами. Кроме того, трапе­ция — это плос­кая геомет­ри­че­ская фигура. И такой спо­соб управ­ле­ния перед­ними колё­сами может исполь­зо­ваться только при зави­симой перед­ней под­веске — когда колёса жёстко свя­заны друг с другом и прямая, соеди­няющая их цен­тры, все­гда парал­лельна плос­ко­сти трапе­ции. Сей­час такое можно встре­тить на гру­зо­вых автомо­би­лях. На современ­ных лег­ко­вых автомо­би­лях под­веска колёс неза­ви­сима, т.е. они  могут ходить по высоте друг отно­си­тельно друга. Для управ­ле­ния в пово­роте такими колё­сами при­ме­няются более слож­ные, уже неплос­кие шар­нир­ные меха­низмы, чаще всего с цен­траль­ным зве­ном в виде  руле­вой рейки. Но их рас­чёт — это тоже задача матема­ти­ков и меха­ни­ков. А исто­ри­че­ски они так по-преж­нему и назы­ваются — руле­вой трапе­цией.

При пово­роте автомо­биля воз­ни­кает ещё один вопрос, свя­зан­ный с геомет­рией. Длина окруж­но­сти ради­уса R равна, как вы пом­ните, 2πR. Соот­вет­ственно, длина дуги, опи­рающейся на угол α окруж­но­сти ради­уса R, равна αR. При пово­роте автомо­биля по дуге окруж­но­сти внеш­нее перед­нее колесо едет по дуге окруж­но­сти большего ради­уса, чем внут­рен­нее перед­нее. Точно так же и зад­нее внеш­нее колесо  опи­сы­вает дугу большего ради­уса, чем внут­рен­нее зад­нее. А раз ради­усы раз­ли­чаются, то, зна­чит, пути, про­хо­димые внут­рен­ним и внеш­ним колё­сами одной оси, должны быть тоже раз­личны. В про­тив­ном слу­чае колесо будет про­скаль­зы­вать, и управ­ля­емость автомо­биля сни­зится.

В слу­чае, когда ось неве­дущая, т.е. её колёса не тол­кают автомо­биль впе­рёд, всё про­сто: каж­дое колесо вер­тится со своей ско­ро­стью, необ­хо­димой для про­хож­де­ния нуж­ного пути без про­скаль­зы­ва­ния.

А как же сде­лать так, чтобы колёса ведущей оси, в нашем слу­чае зад­ней, с одной сто­роны, посто­янно тол­кали автомо­биль впе­рёд, а с дру­гой сто­роны, могли вращаться с раз­ными ско­ро­стями?

Помогает в этом  диффе­ренциал — пред­ста­ви­тель пла­не­тар­ных меха­низмов. Пла­не­тар­ным назы­ва­ется меха­низм, у кото­рого есть сател­литы — шестерни, кру­тящи­еся вокруг подвиж­ных осей.

Вал от мотора, пройдя через коробку пере­дач, отдаёт враще­ние на «бочку». Бочка же через сател­литы пере­даёт враще­ние на левую и пра­вую полу­оси ведущей оси. Как бы ни враща­лись колёса, ско­рость бочки все­гда в два раза мед­лен­нее враще­ния вала, а сумма  ско­ро­стей полу­осей равна удво­ен­ной ско­ро­сти вала.

Если машина едет по прямой и под обо­ими ведущими колё­сами оди­на­ко­вое покрытие — с оди­на­ко­вым коэффици­ен­том тре­ния, то колёса заби­рают от бочки оди­на­ко­вое коли­че­ство враще­ния, и полу­оси вращаются (колёса и их полу­оси) с оди­на­ко­вой ско­ро­стью.

Но если коэффици­енты тре­ния раз­ли­чаются, напри­мер, одна сто­рона машины выезжает с асфальта на грун­то­вую обо­чину или попа­дает на лёд, то... Как же будут себя вести колёса при про­хож­де­нии этого участка? У колёс неве­дущей оси всё про­сто: они неза­ви­симы друг от друга, им не надо тол­кать машину, и когда одно из них выка­ты­ва­ется на лёд, то пере­стаёт кру­титься, так как тре­ние с доро­гой очень маленькое.

Вот и под левое колесо ведущей оси попа­дает лёд. Справа тре­ние с асфальтом большое, а слева — со льдом — почти отсут­ствует. Соот­вет­ственно, левому колесу вращаться гораздо проще, и оно начи­нает заби­рать на себя всё  враще­ние, отда­ва­емое боч­кой на обе полу­оси. При этом сумма ско­ро­стей полу­осей, как было отме­чено выше, все­гда посто­янна, но одна полу­ось не кру­тится, а вто­рая — враща­ется очень быстро. Начать движе­ние из такого положе­ния, когда одно колесо ведущей оси поте­ряло связь с доро­гой (напри­мер, нахо­дится на льду), а другое нет — невозможно.

Каза­лось бы, одни неудоб­ства от этого диффе­ренци­ала, зачем он тогда нужен? Как раз для реше­ния задачи одно­времен­ного тол­ка­ния ведущей осью машины впе­рёд и про­хож­де­ния в пово­ро­тах ведущими коле­сами путей раз­ной длины. Каж­дое колесо берёт от диффе­ренци­ала коли­че­ство движе­ния про­порци­о­нально длине его пути, а в сумме всю энергию вала они затра­чи­вают на движе­ние машины впе­рёд.

Инже­неры посто­янно пытаются улучшить диффе­ренциал, сохра­нив его основ­ное свойство, пытаются уменьшить непри­ят­ные эффекты — каким-либо спо­со­бом не давать кру­титься полу­осям со слиш­ком большой раз­ницей ско­ро­стей. Но по сути, всё и сегодня оста­ётся таким же, ибо законы геомет­рии никто не отме­нял.

Смотри также

Кри­вая пово­рота // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 52.

Другие этюды раздела «Математика и техника»