Задача Томсона

Поме­стим на сферу $N$ оди­на­ко­вых заря­дов. К каким рас­по­ложе­ниям будут стремиться заряды, пыта­ясь мини­ми­зи­ро­вать потенци­аль­ную энергию системы?

Дан­ная задача воз­никла у Дж. Дж. Том­сона при изу­че­нии пла­не­тар­ной модели атома. На рубеже XIX и XX веков он про­во­дил экс­пе­рименты по нахож­де­нию наи­лучших рас­по­ложе­ний для небольших коли­честв заря­дов.

Дж. Дж. Том­сон 1856—1940

Джо­сеф Джон Том­сон (J. J. Thomson) — английский физик, родился 18 декабря 1856 года. В 1884 году избран тре­тьим Cavendish Professor. влялся руко­во­ди­те­лем Cavendish Laboratory, Cambridge. В 1897 году экс­пе­римен­тально открыл суще­ство­ва­ние элек­тро­нов, а в 1906 году полу­чил за это Нобе­лев­скую премию. Умер 30 авгу­ста 1940 года. Семеро его асси­стен­тов стали лау­ре­а­тами Нобе­лев­ских премий.

После появ­ле­ния компью­те­ров про­во­ди­лось множе­ство чис­лен­ных экс­пе­римен­тов. Однако только в конце XX века неко­то­рые част­ные слу­чаи были решены матема­ти­че­ски строго.

Рас­смот­рим, под действием каких сил двигаются элек­троны в задаче. Для этого  зафик­си­руем несколько заря­дов и рас­смот­рим силы, кото­рые будут действо­вать на подвиж­ный заряд.

Вза­и­мо­действие двух заря­дов, нахо­дящихся в трёхмер­ном про­стран­стве, опре­де­ля­ется потенци­а­лом Нью­тона, обратно про­порци­о­наль­ным рас­сто­я­нию между заря­дами. Зна­чит, чем ближе рас­по­ложены заряды,  тем больше сила их вза­и­мо­действия.

Результи­рующая сила  равна сумме всех сил, действующих на рас­смат­ри­ва­емый подвиж­ный заряд. Раз­ложим век­тор силы на две состав­ляющие:  перпен­ди­ку­ляр­ную к сфере и каса­тель­ную. Перпен­ди­ку­ляр­ная состав­ляющая пыта­ется вытолк­нуть заряд со сферы. Зна­чит, на движе­ние элек­трона в задаче Том­сона вли­я­ния она не ока­зы­вает. Каса­тель­ная состав­ляющая опре­де­ляет направ­ле­ние и ско­рость движе­ния заряда в сле­дующий момент.

Движе­ние сво­бод­ного заряда пре­кра­тится, когда сила, действующая на него, будет перпен­ди­ку­лярна сфере (т.е. каса­тель­ная состав­ляющая силы будет равна нулю).

В слу­чае системы сво­бод­ных заря­дов движе­ние оста­нав­ли­ва­ется, когда для каж­дого заряда сила, действующая на него,  перпен­ди­ку­лярна сфере.

Рас­по­ложим на сфере $N$ оди­на­ко­вых сво­бод­ных заря­дов и посмот­рим, какую конфигу­рацию будет стремиться занять эта система.

Рас­смот­рим слу­чаи, когда экс­тремаль­ность полу­чен­ных конфигу­раций уда­лось дока­зать матема­ти­че­ски строго.

$N=2$.  Два элек­трона рас­по­ложатся в  диамет­рально про­ти­вопо­лож­ных точ­ках.

$N=3$. Через любые три точки можно про­ве­сти плос­кость. Плос­кость пере­се­ка­ется со сфе­рой по окруж­но­сти. Зна­чит, три элек­трона рас­по­лагаются на окруж­но­сти, а, сле­до­ва­тельно, на большой окруж­но­сти сферы в  верши­нах пра­виль­ного тре­уголь­ника.

$N=4$. Четыре элек­трона рас­по­ложатся в  верши­нах пра­виль­ного тет­раэдра.

При $N=2, 3, 4$ в экс­тремаль­ной кон­струкции все попар­ные рас­сто­я­ния между элек­тро­нами оди­на­ковы. Зна­чит, для дока­за­тельства экс­тремаль­но­сти при­ве­дён­ных конфигу­раций можно восполь­зо­ваться клас­си­че­скими нера­вен­ствами о сред­нем арифме­ти­че­ском, сред­нем геомет­ри­че­ском и сред­нем гар­мо­ни­че­ском. При оценке снизу потенци­аль­ной энергии системы в этих слу­чаях пере­чис­лен­ные нера­вен­ства дают точ­ные оценки, так как на экс­тремаль­ных кон­струкциях обращаются в равен­ства.

$N=6$. Шесть элек­тро­нов рас­по­ложатся в  верши­нах пра­виль­ного октаэдра (эту конфигу­рацию можно мыс­лить как точки пере­се­че­ния осей коор­ди­нат трёхмер­ного про­стран­ства со сфе­рой).

$N=12$. Две­на­дцать элек­тро­нов рас­по­ложатся в  верши­нах ико­саэдра — пра­виль­ного многогран­ника с 20 тре­уголь­ными гра­нями и 12 верши­нами.

Уди­ви­тельно, но спу­стя век после поста­новки задача Том­сона в трёхмер­ном про­стран­стве решена только для слу­чаев 2, 3, 4, 6 и 12 элек­тро­нов на сфере. В других слу­чаях экс­тремаль­ность какой-либо конфигу­рации матема­ти­че­ски не дока­зана.

В каче­стве реше­ния задачи Том­сона мы встре­тили три из пяти пра­виль­ных многогран­ни­ков — тет­раэдр, октаэдр и ико­саэдр. А что же дают два других пра­виль­ных многогран­ника?

$N=8$. В слу­чае восьми элек­тро­нов задача не решена. Однако легко пока­зать, что куб не явля­ется наи­лучшим (в смысле минимума потенци­аль­ной энергии) рас­по­ложе­нием. Если «свер­нуть голову» кубу, т.е.  повер­нуть одно осно­ва­ние отно­си­тельно другого на $45^\circ$, полу­чится  антипризма. Внутри каж­дого из двух осно­ва­ний энергия вза­и­мо­действия заря­дов не изме­ня­ется, однако рас­сто­я­ние между элек­тро­нами раз­ных осно­ва­ний уве­ли­чи­ва­ется. Зна­чит, антипризма лучше, чем куб, однако явля­ется ли она или какая-то другая конфигу­рация наи­лучшим рас­по­ложе­нием элек­тро­нов, не дока­зано.

$N=20$. В слу­чае 20 элек­тро­нов, так же как и в слу­чае восьми, можно при­ве­сти рас­по­ложе­ние, кото­рое обла­дает меньшей потенци­аль­ной энергией, чем доде­каэдр.

Рас­смот­рим пер­вый нерешён­ный слу­чай — слу­чай  пяти элек­тро­нов на сфере. Чис­лен­ные рас­чёты пока­зы­вают, что наи­лучшее рас­по­ложе­ние элек­тро­нов сле­дующее: три элек­трона в верши­нах пра­виль­ного тре­уголь­ника, впи­сан­ного в эква­тор, и два элек­трона по полю­сам. Однако матема­ти­че­ски дока­зать то, что  эта кон­струкция явля­ется наи­лучшей, пока не уда­ётся.

На при­мере пяти элек­тро­нов рас­смот­рим поня­тие рав­но­вес­ной конфигу­рации.  Задача Том­сона состоит в нахож­де­нии рас­по­ложе­ния заря­дов, соот­вет­ствующего гло­баль­ному минимуму потенци­аль­ной энергии системы. Суще­ствуют и другие конфигу­рации, придя к кото­рым система ста­би­ли­зи­ру­ется. Они и назы­ваются рав­но­вес­ными. Однако энергия таких конфигу­раций может быть не минималь­ной. Кроме того, эти конфигу­рации не являются устой­чи­выми: если поше­ве­лить один или несколько заря­дов в ней, то конфигу­рация рас­па­да­ется.

Если изна­чально брошен­ные на сферу элек­троны все ока­за­лись на эква­торе, то никуда с эква­тора они не уйдут (нет сил, вытал­ки­вающих их с эква­тора, все силы вза­и­мо­действия лежат в плос­ко­сти эква­тора). Рас­по­ложатся они в  верши­нах пра­виль­ного пяти­уголь­ника.  

Рас­смот­рим ещё одну рав­но­вес­ную конфигу­рацию. Четыре элек­трона в верши­нах квад­рата и один на перпен­ди­ку­ляр­ной к этой плос­ко­сти прямой. Конфигу­рация так и оста­нется  четырех­уголь­ной пирами­дой, подо­брав наи­лучшую для минимума энергии высоту.

При уве­ли­че­нии числа заря­дов коли­че­ство рав­но­вес­ных конфигу­раций стреми­тельно рас­тёт. Это ослож­няет иссле­до­ва­ние задачи мето­дами чис­лен­ного моде­ли­ро­ва­ния, даже при исполь­зо­ва­нии мощ­ных современ­ных компью­те­ров.

Важ­ные при­ложе­ния имеет задача Том­сона в про­стран­ствах других размер­но­стей.

В слу­чае двумер­ного про­стран­ства, т.е. плос­ко­сти, сфера — это окруж­ность. Зна­чит, система $N$ оди­на­ко­вых заря­дов нахо­дится на окруж­но­сти. Пыта­ясь мини­ми­зи­ро­вать потенци­аль­ную энергию системы, они рас­по­ложатся в  верши­нах пра­виль­ного N-уголь­ника.

В размер­но­стях больше трёх задача Том­сона матема­ти­че­ски строго решена лишь в ред­ких слу­чаях.

П. Л. Чебышев 1821—1894

Паф­ну­тий Льво­вич Чебышев — рус­ский матема­тик и меха­ник. Начал иссле­до­ва­ния по новым направ­ле­ниям в раз­ных обла­стях: тео­рии при­ближе­ния функций, тео­рии веро­ят­но­стей, тео­рии чисел, интеграль­ном исчис­ле­нии и т.д. Созда­тель извест­ных меха­низмов. Являлся чле­ном Петер­бург­ской, Бер­лин­ской и Болон­ской ака­демий, Париж­ской Ака­демии наук, чле­ном-кор­ре­спон­ден­том Лон­дон­ского Коро­лев­ского обще­ства, Швед­ской ака­демии наук.

Напри­мер, дока­зано, что в четырёхмер­ном про­стран­стве 120 элек­тро­нов рас­по­ложатся в верши­нах пра­виль­ного многогран­ника, имеющего соот­вет­ствующее число вершин.

Некий рекорд постав­лен в 24-мер­ном про­стран­стве. Минимум потенци­аль­ной энергии системы из 196560 заря­дов на сфере этого про­стран­ства достига­ется, если заряды рас­по­ложены в кон­цах минималь­ных век­то­ров знаме­ни­той решётки Лича.

Извест­ные точ­ные реше­ния задачи Том­сона полу­чены мето­дами тео­рии при­ближе­ния функций. Эта область науки, раз­ви­тая рос­сийским матема­ти­ком Паф­ну­тием Льво­ви­чем Чебыше­вым и его уче­ни­ками, явля­ется мощ­ным мето­дом реше­ния раз­ного круга задач.

Отме­тим, что в фильме не учи­ты­ва­лись динами­че­ские эффекты, воз­ни­кающие при движе­нии заря­дов. Такая модель возможна, если между заря­дами и сфе­рой есть сила тре­ния.

Акку­ратно, с точки зре­ния физики, задача Том­сона может быть сформу­ли­ро­вана так: в какие точки на сфере нужно поме­стить $N$ оди­на­ко­вых заря­дов, чтобы конфигу­рация соот­вет­ство­вала минималь­ной потенци­аль­ной энергии системы?

Лите­ра­тура

Whyte L. L. Unique arrangements of points on a sphere // The American Mathematical Monthly. — 1952. — V. 59, No. 9. — P. 606—611.

Юдин В. А. Минимум потенци­аль­ной энергии точеч­ной системы заря­дов // Дис­крет­ная матема­тика. — 1992. — Т. 4, вып. 2. — С. 115—121.

Andreev N. N. One extremal property of the icosahedron // East Journal on Approximation. — 1996. — V. 2, No. 4. — P. 301—304.

Андреев Н. Н., Юдин В. А. Экс­тремаль­ные рас­по­ложе­ния точек на сфере // Матема­ти­че­ское про­свеще­ние (тре­тья серия). — 1997. — Вып. 1. — С. 115—121
(В этой ста­тье при­ве­дено научно-попу­ляр­ное изложе­ние реше­ний задачи Том­сона в трёхмер­ном слу­чае. Если вы хотите иссле­до­вать задачу, изу­че­ние лите­ра­туры стоит начать с этой ста­тьи.)

Точ­ные реше­ния част­ных слу­чаев задачи в высших размер­но­стях и других потенци­а­лах:

Колушов А. В., Юдин В. А. О кон­струкции Кор­ки­на—­Зо­ло­та­рёва // Дис­крет­ная матема­тика. — 1994. — Т. 6, вып. 1. — С. 155—157.

Kolushov A. V., Yudin V. A. Extremal dispositions of points on a unit sphere // Analysis Mathematica. — 1997. — V. 23, No. 1.

Андреев Н. Н. Рас­по­ложе­ние точек на сфере с минималь­ной энергией. // Труды Матема­ти­че­ского инсти­тута им. В. А. Стек­лова РАН. — 1997. — Т. 219. — С. 27—31.

Андреев Н. Н. Минималь­ный дизайн 11-го порядка на трёхмер­ной сфере. // Матема­ти­че­ские заметки. — 2000. — Т. 67, № 4. — С. 489—497.

Другие этюды раздела «Наилучшее расположение точек»