Эллипсограф: теорема Коперника

Устройство для рисо­ва­ния эллип­сов, назы­ва­емое эллип­сограф да Винчи, современ­ные эффект­ные видео­ро­лики, нахо­димые по назва­нию Trammel of Archimedes, объеди­няет и объяс­няет тео­рема из пла­нимет­рии — тео­рема Копер­ника.

Окруж­ность внут­рен­ним обра­зом каса­ется окруж­но­сти вдвое большего ради­уса и катится по ней без про­скаль­зы­ва­ния. Какую тра­ек­то­рию опи­сы­вает фик­си­ро­ван­ная точка маленькой подвиж­ной окруж­но­сти? Ока­зы­ва­ется, это будет отре­зок — диаметр большой окруж­но­сти. В этом и состоит утвер­жде­ние, назы­ва­емое тео­ремой Копер­ника.

Теорема Коперника
Теорема Коперника
Теорема Коперника

Каж­дая кон­крет­ная точка катящейся окруж­но­сти рисует свой диаметр. Две диамет­рально про­ти­вопо­лож­ные точки маленькой окруж­но­сти нари­суют два перпен­ди­ку­ляр­ных диаметра большой окруж­но­сти. Меха­низм для постро­е­ния эллип­сов, осно­ван­ный на этой идее можно встре­тить уже в рабо­тах Лео­нардо да Винчи. Любая точка коромысла, а не только его конец, опи­сы­вает эллипс. Для точек между пол­зу­нами это модифи­кация задачи «Котё­нок на лест­нице». Если пред­ста­вить плос­кость, свя­зан­ную с коромыс­лом, то и любая точка этой плос­ко­сти будет опи­сы­вать эллипс над плос­ко­стью-осно­ва­нием.

Эллипсограф
Эллипсограф
Эллипсограф

Коли­че­ство точек на малой окруж­но­сти и, соот­вет­ственно, коли­че­ство пол­зу­нов можно варьи­ро­вать. Три точки на маленькой окруж­но­сти — три диаметра, три пол­зуна.

Эллипсограф
Эллипсограф
Эллипсограф

Тео­рема Копер­ника явля­ется и матема­ти­че­ской осно­вой заво­ражи­вающих видео­ро­ли­ков, где несколько шари­ков эффектно катаются внутри круга по прямым и не стал­ки­ваются.

Теорема Коперника
Теорема Коперника
Теорема Коперника

Лите­ра­тура

Васи­льев Н. Б., Гутенма­хер В. Л. Прямые и кри­вые. — 2-е изд. — М. : Наука, 1978. — [Интер­нет-вер­сия].

Котё­нок на лест­нице // Матема­ти­че­ские этюды.

Дроб­ле­ние кам­ней в поч­ках // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — Стр. 48—49, 302—303.