В один из узлов решётки целых чисел на плоскости приколем канцелярской скрепкой центр выпуклой центрально симметричной фигуры, у которой площадь равна 4 (или больше 4). При любом повороте фигуры относительно её центра симметрии внутри фигуры или на её границе всегда будет хотя бы одна пара точек решётки, симметричных относительно центра.
Убедиться в этом можно с помощью несложной модели, сделав набор выпуклых центрально симметричных фигур (площади не меньше 4) из прозрачного пластика.
Сформулированное утверждение для выпуклого центрально симметричного тела площади 4 и квадратной решётки целых чисел на плоскости можно сформулировать не только для решётки целых чисел и не только на плоскости. Утверждение в общем виде и есть теорема Минковского о выпуклом теле. Чтобы содержать точку решётки, отличную от центра, при рассмотрении решётки целых чисел в $n$-мерном пространстве замкнутое центрально симметричное тело должно иметь объём не меньше $2^n$, а для произвольной решётки, кроме размерности участвует ещё объём фундаментальной области этой решётки.
Герман Минковский (1864—1909) опубликовал свою знаменитую работу «Геометрия чисел» (Geometrie der Zahlen) в 1896 году. В работе были заложены основы новой области математики — геометрии чисел. Основная идея этой науки, находящейся на стыке геометрии и теории чисел, состоит в том, что в теории чисел есть немало задач, которые можно переформулировать на геометрическом языке, после чего задача становится более прозрачной, и появляется возможность применять геометрические методы для её решения. Самая известная геометрическая теорема, которая помогает решать задачи по теории чисел, — это теорема Минковского о выпуклом теле.
Удивляет насколько иногда далеки от геометрии формулировки утверждений из теории чисел, для доказательства которых полезна эта геометрическая теорема. Два примера: теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов целых чисел; теорема Дирихле о диофантовых приближениях и её следствия, говорящие о приближении иррациональных чисел рациональными.
Литература
Долбилин Н. П. Г. Ф. Вороной и геометрия чисел // Журнал «Квант». — 2019. — № 1. — Стр. 12—20.
Тихомиров В. М. Теорема Ферма—Эйлера о двух квадратах // Журнал «Квант». — 1991. — № 10. — Стр. 9—12.
