Теорема Минковского о выпуклом теле

В один из узлов решётки целых чисел на плос­ко­сти при­ко­лем канце­ляр­ской скреп­кой центр выпук­лой цен­трально симмет­рич­ной фигуры, у кото­рой площадь равна 4 (или больше 4). При любом пово­роте фигуры отно­си­тельно её цен­тра симмет­рии внутри фигуры или на её гра­нице все­гда будет хотя бы одна пара точек решётки, симмет­рич­ных отно­си­тельно цен­тра.

main

Убе­диться в этом можно с помощью неслож­ной модели, сде­лав набор выпук­лых цен­трально симмет­рич­ных фигур (площади не меньше 4) из про­зрач­ного пла­стика.

Сформу­ли­ро­ван­ное утвер­жде­ние для выпук­лого цен­трально симмет­рич­ного тела площади 4 и квад­рат­ной решётки целых чисел на плос­ко­сти можно сформу­ли­ро­вать не только для решётки целых чисел и не только на плос­ко­сти. Утвер­жде­ние в общем виде и есть тео­рема Мин­ков­ского о выпук­лом теле. Чтобы содержать точку решётки, отлич­ную от цен­тра, при рас­смот­ре­нии решётки целых чисел в $n$-мер­ном про­стран­стве замкну­тое цен­трально симмет­рич­ное тело должно иметь объём не меньше $2^n$, а для про­из­воль­ной решётки, кроме размер­но­сти участ­вует ещё объём фун­дамен­таль­ной обла­сти этой решётки.

Герман Мин­ков­ский (1864—1909) опуб­ли­ко­вал свою знаме­ни­тую работу «Геомет­рия чисел» (Geometrie der Zahlen) в 1896 году. В работе были заложены основы новой обла­сти матема­тики — геомет­рии чисел. Основ­ная идея этой науки, нахо­дящейся на стыке геомет­рии и тео­рии чисел, состоит в том, что в тео­рии чисел есть немало задач, кото­рые можно переформу­ли­ро­вать на геомет­ри­че­ском языке, после чего задача ста­но­вится более про­зрач­ной, и появ­ля­ется возмож­ность при­ме­нять геомет­ри­че­ские методы для её реше­ния. Самая извест­ная геомет­ри­че­ская тео­рема, кото­рая помогает решать задачи по тео­рии чисел, — это тео­рема Мин­ков­ского о выпук­лом теле.

Удив­ляет насколько иногда далеки от геомет­рии форму­ли­ровки утвер­жде­ний из тео­рии чисел, для дока­за­тельства кото­рых полезна эта геомет­ри­че­ская тео­рема. Два при­мера: тео­рема Лагранжа о том, что любое нату­раль­ное число может быть пред­став­лено как сумма четырёх квад­ра­тов целых чисел; тео­рема Дири­хле о диофан­то­вых при­ближе­ниях и её след­ствия, гово­рящие о при­ближе­нии ирраци­о­наль­ных чисел раци­о­наль­ными.

Лите­ра­тура

Дол­би­лин Н. П. Г. Ф. Воро­ной и геомет­рия чисел // Жур­нал «Квант». 2019. № 1. Стр. 12—20.

Тихоми­ров В. М. Тео­рема Ферма—Эйлера о двух квад­ра­тах // Жур­нал «Квант». 1991. № 10. Стр. 9—12.