Окружности Вилларсо

На торе (поверх­но­сти буб­лика) два семейства окруж­но­стей оче­видны: одно — это окруж­но­сти, обра­зующие тор при враще­нии вокруг оси, другое — окруж­но­сти, парал­лель­ные «эква­тору». Ока­зы­ва­ется, на торе есть ещё два семейства окруж­но­стей, назы­ва­емых окруж­но­стями Вил­ларсо. И это поз­во­ляет постро­ить пла­стин­ча­тую модель тора (по тех­но­логии «sliceform»), при­чём из пла­сти­нок оди­на­ко­вой формы.

Тор — это поверх­ность, обра­зо­ван­ная враще­нием окруж­но­сти ради­уса $r$ отно­си­тельно оси, лежащей в плос­ко­сти этой окруж­но­сти и уда­лён­ной от её цен­тра на рас­сто­я­ние $R$. (Для при­выч­ного тора $R \gt r$.) Окруж­но­сти на торе, парал­лель­ные эква­тору, воз­ни­кают вслед­ствие того, что это фигура враще­ния. Окруж­ность, заме­та­емую цен­тром обра­зующей тор окруж­но­сти, часто назы­вают «сред­ней линией» или «сред­ней окруж­но­стью» тора.

Тор: поверхность бублика
Тор: поверхность бублика
Тор: поверхность бублика

Рас­смот­рим плос­кость, касающуюся с раз­ных сто­рон обра­зующую тор окруж­ность и про­ти­вопо­лож­ную ей, — бика­са­тель­ную плос­кость. Ока­зы­ва­ется, эта плос­кость пере­се­кает тор по двум пере­се­кающимся окруж­но­стям, кото­рые и назы­ваются окруж­но­стями Вил­ларсо.

Окружности Вилларсо
Окружности Вилларсо
Окружности Вилларсо

Ивон Вил­ларсо — аст­ро­ном Париж­ской обсер­ва­то­рии, ино­стран­ный член-кор­ре­спон­дент Импе­ра­тор­ской Санкт-Петер­бург­ской ака­демии наук. В выдержке из сообще­ния физику Жаку Бабинэ, опуб­ли­ко­ван­ной в Comptes Rendus в 1848 году, Вил­ларсо пишет, что уже «дав­ным-давно» сообщил Тео­дору Оли­вье, что обыч­ный круго­вой тор допус­кает тре­тью систему круго­вых сече­ний: когда секущая плос­кость про­хо­дит через центр тора и в то же время каса­ется его. «Выра­зив урав­не­ние кри­вой пере­се­че­ния в поляр­ных коор­ди­на­тах, я осо­знал возмож­ность раз­ложе­ния этого урав­не­ния на два множи­теля, равен­ство каж­дого из кото­рых нулю явля­ется поляр­ным урав­не­нием окруж­но­сти».

Окруж­но­сти Вил­ларсо имеют тот же радиус, что и сред­няя окруж­ность тора. Действи­тельно, если про­ве­сти «гори­зон­таль­ную» плос­кость, про­хо­дящую через центр тора, то прямая её пере­се­че­ния с бика­са­тель­ной плос­ко­стью будет содержать и диаметр сред­ней окруж­но­сти тора, и диаметры окруж­но­стей Вил­ларсо. При­чём диаметры окруж­но­стей Вил­ларсо полу­чаются из диаметра сред­ней окруж­но­сти сдвигом вдоль прямой пере­се­че­ния на $r$. В заметке 1848 года Вил­ларсо при­во­дит это же рас­суж­де­ние, только рас­смат­ри­вает вер­ти­каль­ную плос­кость.

Окружности Вилларсо: радиус равен радиусу средней окружности тора
Окружности Вилларсо: радиус равен радиусу средней окружности тора
Окружности Вилларсо: радиус равен радиусу средней окружности тора

Окруж­но­сти Вил­ларсо из одного семейства попарно зацеп­лены друг за друга.

Окружности Вилларсо: зацепленность
Окружности Вилларсо: зацепленность
Окружности Вилларсо: зацепленность

Если рас­смат­ри­вать вложен­ные друг в друга торы с общей осью враще­ния, то их окруж­но­сти Вил­ларсо реа­ли­зуют раз­би­е­ние трёхмер­ного про­стран­ства (за исклю­че­нием оси враще­ния) на попарно зацеп­лен­ные окруж­но­сти. Это служит осно­вой для кон­струк­тив­ного раз­би­е­ния сферы четырёхмер­ного про­стран­ства на попарно зацеп­лен­ные окруж­но­сти — так назы­ва­емого рас­сло­е­ния Хопфа. Постро­ен­ное в 1931 году рас­сло­е­ние стало исклю­чи­тель­ным и важ­ным при­ме­ром в алгеб­ра­и­че­ской топо­логии. Подроб­нее можно про­чи­тать в ста­тье Арсе­ния Акопяна «Окруж­но­сти Вил­ларсо и рас­сло­е­ние Хопфа» или посмот­реть в фильме Этьена Жиса «Dimensions» и коммен­та­риях к нему. Здесь лишь при­ве­дём рисунки Миха­ила Панова к ста­тье из жур­нала «Квант».

Рисунки к статье А. Акопяна «Окружности Вилларсо и расслоение Хопфа» в журнале «Квант»
Рисунки к статье А. Акопяна «Окружности Вилларсо и расслоение Хопфа» в журнале «Квант»

Пла­стин­ча­тую модель тора можно сде­лать из колец, пред­став­ляющих сече­ния, парал­лель­ные плос­ко­сти эква­тора тора, и круж­ков, пред­став­ляющих окруж­но­сти, кото­рыми тор обра­зо­ван при враще­нии вокруг оси. А в 2011 году была опуб­ли­ко­вана идея, как сде­лать модель тора из плос­ких пла­сти­нок оди­на­ко­вой формы! Лишь направ­ле­ние про­ре­зей делит их на два типа. И гра­ницы этих пла­сти­нок — не что иное, как окруж­но­сти Вил­ларсо.

Пластинчатая модель тора: окружности Вилларсо
Пластинчатая модель тора: окружности Вилларсо
Пластинчатая модель тора: окружности Вилларсо

Встав­лять пла­стинки сле­дует по оче­реди друг в друга. Пар­ные раз­ноцвет­ные пла­стинки встав­ляются соот­вет­ствующими друг другу раз­ре­зами — если счи­тать от края, то с одним номе­ром. На началь­ных этапах это несложно, а потом при­дётся про­явить сооб­ра­зи­тель­ность, тру­до­лю­бие и акку­рат­ность.

Пластинчатая модель тора: окружности Вилларсо
Пластинчатая модель тора: окружности Вилларсо
Пластинчатая модель тора: окружности Вилларсо

Если тор, кото­рый мы хотим смо­де­ли­ро­вать, обра­зо­ван враще­нием окруж­но­сти ради­уса $r$ вокруг оси, отсто­ящей от её цен­тра на рас­сто­я­ние $R$, то «дольки» огра­ни­чены окруж­но­стями ради­уса $R$, а их цен­тры отстоят друг от друга на рас­сто­я­ние $2r$. Про­рези должны идти по лучам, выхо­дящим из цен­тра тора. Коли­че­ство про­ре­зей на еди­ницу меньше чем число пла­сти­нок одного типа. А вот угол между про­ре­зями и толщина иде­аль­ных про­ре­зей — слож­ные функции.

Если сде­лать слиш­ком много пла­сти­нок, то край­няя про­резь будет слиш­ком близко к углу дольки. Кроме того, чем дальше от цен­тра пла­сти­нок, тем под меньшим углом пла­стины встре­чаются друг с другом, и при­хо­дится делать более широ­кий раз­рез. Чер­тёж для выре­за­ния пла­сти­нок из нетол­стого кар­тона (не толще 0,25 мм), рас­счи­тан­ный на 24 дольки (по 12 каж­дого типа), при­ве­дён в pdf-файле.

В англо­языч­ной лите­ра­туре для подоб­ных моде­лей усто­ялся термин «sliceform», в рус­ском языке пред­лагаем исполь­зо­вать термин «пла­стин­ча­тые кон­струкции».

Лите­ра­тура

Monera M. G., Monterde J. Building a Torus with Villarceau Sections // Journal for Geometry and Graphics. — 2011. — V. 15. — No. 1. — P. 93—99.

Акопян А. Окруж­но­сти Вил­ларсо и рас­сло­е­ние Хопфа / Иллю­страции М. Панова // Жур­нал «Квант». — 2013. — № 5—6. — Cтр. 8—11.

Ghys É., Leys J., Alvarez А. Фильм «Dimensions». — [Главы 7 и 8: «Рас­сло­е­ние»].

Villarceau Yvon. Note concernant un troisième systéme de sections circulaires qu’admet le tore circulaire ordinaire // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. — 1848. — T. 27 [juillet—décembre]. — P. 246.