Кардиоида и нефроида

Кар­диоида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — кри­вая, кото­рая опи­сы­ва­ется фик­си­ро­ван­ной точ­кой окруж­но­сти, катящейся без про­скаль­зы­ва­ния по внеш­ней сто­роне непо­движ­ной окруж­но­сти такого же ради­уса.

Если катяща­яся окруж­ность будет иметь радиус в два раза меньше ради­уса непо­движ­ной, то полу­чится неф­ро­ида (греч. νεφρός — почка, греч. εἶδος — вид).

Эти стан­дарт­ные опре­де­ле­ния демон­стри­руют, что и кар­дио­ида, и неф­ро­ида являются част­ными слу­ча­ями цик­лоид, а точ­нее эпицик­лоид.

Зада­ние кар­ди­о­диды и неф­ро­иды как оги­бающих неко­то­рого семейства прямых встре­ча­ется редко, но оно очень глу­боко по смыслу.

Рас­ста­вим рав­но­мерно на окруж­но­сти $N$ точек. Чтобы полу­чить кар­дио­иду, про­ве­дём отрезки, соеди­няющие точку с номе­ром $k$ с точ­кой с номе­ром $2k$. (Так как «живём» на окруж­но­сти, то эту опе­рацию надо делать «по модулю $N$»: если число ока­за­лось больше $N$, то делим его на $N$ с остат­ком и рас­смат­ри­ваем этот оста­ток.) Для полу­че­ния неф­ро­иды закон соеди­не­ния сле­дует поме­нять на $(k,3k)$.

0

Сама кри­вая не нари­со­вана, но мы её видим! Этот эффект заложен в самом поня­тии оги­бающая. Оги­бающая каса­ется прямых семейства, она вся «состав­лена из точек каса­ния». В точ­ках оги­бающей кар­тинка полу­ча­ется «более закрашен­ной». Другими сло­вами, возле оги­бающей полу­ча­ется повышен­ная «ску­чен­ность» прямых: возле каж­дой точки оги­бающей про­хо­дит много прямых, кото­рые вдали от оги­бающей рас­хо­дятся по своим направ­ле­ниям.

Интер­пре­тации кар­дио­иды и неф­ро­иды как оги­бающих поз­во­ляют сде­лать нагляд­ную модель, на кото­рой можно наблю­дать и сами кри­вые, и опи­сан­ное свойство оги­бающей. Можно, как мы, исполь­зо­вать про­рези; про­стой вари­ант — рав­но­мерно по окруж­но­сти вбить гвоз­дики на фанер­ном круге; а быть может, кто-то захо­чет исполь­зо­вать пяльцы для выши­ва­ния. Другие идеи и самих рисун­ков, и реа­ли­за­ции креп­ле­ния можно найти в интер­нете по сло­во­со­че­та­ниям string art и math string art.

Кардиоида
Нефроида

Рас­смот­рен­ное свойство оги­бающей поз­во­ляет перейти к физи­че­ской трак­товке явле­ния. После отраже­ния света от какого-то пред­мета иногда можно наблю­дать ярко освещён­ные кри­вые, обла­сти, назы­ва­емые кау­сти­кой. Если Солнце све­тит в чашку с кофе, кастрюлю с отражающими стен­ками или освещает цилин­дри­че­ское кольцо из жести, то можно наблю­дать кау­стику в виде кар­дио­иды или неф­ро­иды, в зави­симо­сти от направ­ле­ния света.