Плотнейшая упаковка кругов

Любая хозяйка знает, что если насыпать горох в банку до края, а затем потря­сти её, то можно будет ещё немного досыпать. Как много оди­на­ко­вых маленьких шари­ков можно уме­стить в большой кон­тей­нер? Позна­комиться с тема­ти­кой поз­во­ляет голо­во­ломка, зада­ние кото­рой кажется на пер­вый взгляд невы­пол­нимым.

На прямо­уголь­ном поле, огра­ни­чен­ном невы­со­кой рам­кой, рас­по­ложены вплот­ную друг к другу $40$ оди­на­ко­вых круж­ков (шайб), их цен­тры обра­зуют квад­рат­ную решётку. Ока­зы­ва­ется, можно пере­ложить кружки так, чтобы внутри рамки уме­стился $41$ кружок!

Плотнейшая упаковка кругов на плоскости
Плотнейшая упаковка кругов на плоскости
Плотнейшая упаковка кругов на плоскости
Плотнейшая упаковка кругов на плоскости

Голо­во­ломку легко изго­то­вить сво­ими руками. Кружки можно выре­зать из кар­тона, а можно исполь­зо­вать и гото­вые вари­анты — монеты, пуго­вицы, шашки и т. п. Поле и рамку можно изго­то­вить из фанеры, листа пла­стика, даже из плот­ного кар­тона. Сна­чала надо опре­де­лить размеры поля, соот­вет­ствующего каре из круж­ков $5\times 8$, а затем накле­ить прямо­уголь­ное обрам­ле­ние, рамку.

Поле $5\times 8$ — наименьшее прямо­уголь­ное, в кото­ром возможно про­ве­сти «уплот­не­ние», разме­стить ещё один кружок. При этом «пол­ный» ряд должен идти вдоль корот­кой сто­роны (с «пол­ным» рядом вдоль большей сто­роны — не сра­бо­тает).

Если рас­смат­ри­вать всю плос­кость, то оптималь­ность гек­саго­наль­ной укладки была дока­зана матема­ти­ками только к сере­дине XX века. Задача плот­нейшей упа­ковки шаров в трёхмер­ном про­стран­стве была решена совсем недавно, хотя гипо­теза была сформу­ли­ро­вана Кепле­ром в трак­тате «О шести­уголь­ных снежин­ках» ещё в $1611$ году. Но лишь в конце XX века уда­лось матема­ти­че­ски дока­зать, что гра­нецен­три­ро­ван­ная куби­че­ская упа­ковка — то, как скла­ды­вали пушеч­ные ядра, — явля­ется наи­бо­лее плот­ной. А в XXI веке ана­логич­ная задача была решена ещё и в про­стран­ствах размер­но­стей $8$ и $24$.

Лите­ра­тура

Пче­ли­ные соты // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — Стр. 76—77, 317.

Фейеш Тот Л. Рас­по­ложе­ния на плос­ко­сти, на сфере и в про­стран­стве. — М.: ГИФМЛ, 1958.

Другие модели раздела «Головоломки»