Качение эллипсов

Опти­че­ское свойство эллипса гла­сит, что лучи, вышед­шие из одного фокуса, после отраже­ния от эллипса одно­временно при­дут во вто­рой фокус. Это свойство поз­во­ляет сде­лать про­стую, но заво­ражи­вающую модель: эллипс катится по рав­ному эллипсу, и при этом их фокусы соеди­нены план­кой, не меняющей длины.

Опти­че­ским свойством обла­дают все кони­че­ские сече­ния: и эллипс, и пара­бола, и гипер­бола. При этом оно при­суще только им и в неко­то­ром смысле задаёт их, могло бы являться их опре­де­ле­нием. Но для эллипса опти­че­ское свойство дока­зы­ва­ется проще всего: верё­вочка, выри­со­вы­вающая эллипс, все­гда состав­ляет оди­на­ко­вые углы с каса­тель­ной.

Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство эллипса

Отра­зим эллипс отно­си­тельно каса­тель­ной. В силу опти­че­ского свойства, рас­сто­я­ние между «накрест лежащими» фоку­сами не меня­ется, и их можно соеди­нить план­кой. Если один эллипс непо­движ­ный, то каж­дый из фоку­сов вто­рого ходит по окруж­но­сти.

Качение эллипса по эллипсу
Качение эллипса по эллипсу
Качение эллипса по эллипсу

Чтобы эллипсы не про­скаль­зы­вали при каче­нии одного по другому, необ­хо­димо сде­лать зуб­ча­тое зацеп­ле­ние. Тео­рия постро­е­ния профи­лей зуб­ча­тых зацеп­ле­ний — нетри­ви­аль­ная наука. В нашей модели исполь­зо­ва­лись гипо- и эпицик­ло­иды, постро­ен­ные на эллипсе.

Качение эллипсов
Качение эллипсов
Качение эллипсов

Лите­ра­тура

Дроб­ле­ние кам­ней в поч­ках // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 48—49, 302—303.

Арт­обо­лев­ский И. И. Меха­низмы в современ­ной тех­нике: спра­воч­ное посо­бие для инже­не­ров, кон­струк­то­ров и изоб­ре­та­те­лей. В 7 томах. Т. 4 «Зуб­ча­тые меха­низмы». — М.: Наука, 1980. — [Трёх­звен­ный цен­т­ро­ид­ный меха­низм эллип­ти­че­ских колёс. — С. 40].

Зуб­ча­тые колёса // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 58—59.