Гипербола: поверхностное натяжение воды ⁠

Гипер­болу в домаш­них усло­виях могут «нари­со­вать» силы поверх­ност­ного натяже­ния.

В ван­ночку с водой поставьте две прямо­уголь­ные стек­лян­ные пла­стинки в виде слегка при­от­крытой книги. Нач­ните мед­ленно закры­вать «книгу»: вода между пла­стин­ками под­нимется, а её уро­вень будет снижаться по зна­комой кри­вой — гипер­боле (начи­нающейся с неко­то­рым отступом от «корешка книги»).

Физи­че­ское объяс­не­ние опи­сан­ного экс­пе­римента чита­тель может полу­чить само­сто­я­тельно, а может найти в жур­нале «Квант».

Если пред­ва­ри­тельно на одном стёк­лышке нари­со­вать мел­кую квад­рат­ную сетку, то можно про­ве­рить, что полу­чи­лась именно гипер­бола: площади прямо­уголь­ни­ков под линией будут оди­на­ко­выми.

Прямо­уголь­ники под гипер­бо­лой стали осно­вой задачи, впер­вые воз­никшей на Мос­ков­ской матема­ти­че­ской олимпиаде 2020 года:

На графике функции $y=1/x$ Миша отме­чал под­ряд все точки с абс­цис­сами $1$, $2$, $3$, …, пока не устал. Потом при­шла Маша и закра­сила все прямо­уголь­ники, одна из вершин кото­рых — это отме­чен­ная точка, еще одна — начало коор­ди­нат, а еще две лежат на осях. Затем учи­тель­ница попро­сила ребят посчи­тать площадь фигуры, состо­ящей из всех точек, закрашен­ных ровно один раз. Сколько полу­чи­лось?

Ответ, что площадь равна в точ­но­сти $1$, не зави­сит от того, сколько точек отме­тил Миша, и может быть полу­чен как алгеб­ра­и­че­ски, так и геомет­ри­че­ски.